Question

15．若c=2，∠C=$\frac{π}{3}$且△ABC是銳角三角形，則△ABC周長的取值范圍（2$\sqrt{3}$+2，6]．

Answer 1

分析 通過角的范圍，利用正弦定理推出a+b的關(guān)系，利用兩角和的正弦函數(shù)，化簡函數(shù)的表達(dá)式，求出a+b的取值范圍，從而可求周長的取值范圍．

解答 解：由∠C=$\frac{π}{3}$且三角形是銳角三角形可得$\frac{π}{6}＜A＜\frac{π}{2}$，
由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}$，
∴a=$\frac{c}{sinC}$×sinA=$\frac{4}{\sqrt{3}}$sinA，
b=$\frac{4}{\sqrt{3}}$sinB=$\frac{4}{\sqrt{3}}$sin（$\frac{2π}{3}$-A），
∴a+b=$\frac{4}{\sqrt{3}}$[sinA+sin（$\frac{2π}{3}$-A）]=$\frac{4}{\sqrt{3}}$（$\frac{3}{2}$sinA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA）=4sin（A+$\frac{π}{6}$），
∴$\frac{π}{3}$＜A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜sin（A+$\frac{π}{6}$）≤1，即 2$\sqrt{3}$＜a+b≤4
∴△ABC周長l=a+b+c∈（2$\sqrt{3}$+2，6]．
故答案為：（2$\sqrt{3}$+2，6]．

點(diǎn)評 本題考查兩角和的正弦函數(shù)、正切函數(shù)以及正弦定理的應(yīng)用，考查計算能力，屬于基本知識的考查．