Question

7．如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面是菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F、H分別是BC、PC、PD的中點(diǎn)．   
（Ⅰ）證明：AE⊥PD；
（Ⅱ）若AB=1，且AF=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，求多面體AEFH的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由四邊形ABCD為棱形，∠ABC=60°，知△ABC是等邊三角形，由E是BC的中點(diǎn)，知AE⊥BC，由BC∥AD，知AE⊥AD，由PA⊥平面ABCD，知PA⊥AE，由此能夠證明AE⊥PD．
（Ⅱ）連結(jié)AC，則PA⊥AC，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出PC，PA，取AD中點(diǎn)G，則HG=$\frac{1}{2}$PA，F(xiàn)H=$\frac{1}{2}$CD，由HG⊥平面ABCD可得HG⊥CD，從而HG⊥FH，過(guò)A作AM⊥EG，則AM⊥平面EFHG，AM為等邊三角形ACD的高的一半，代入體積公式即可求出棱錐的體積．

解答 （Ⅰ）證明：∵四邊形ABCD為棱形，∠ABC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∵E是BC的中點(diǎn)，∴AE⊥BC，
又∵BC∥AD，∴AE⊥AD，
∵PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，∴PA⊥AE，
∵PA?平面PAD，AD?平面PAD，且PA∩AD=A，
∴AE⊥平面PAD，
又∵PD?平面PAD，∴AE⊥PD；
（Ⅱ）解：∵AB=1，∴AC=AD=BC=CD=1，∴AE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵PA⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴PA⊥AC，
∵F是PC的中點(diǎn)，∴PC=2AF=$\sqrt{2}$，∴PA=$\sqrt{P{C}^{2}-A{C}^{2}}$=1．
取AD中點(diǎn)G，連結(jié)HG，EG，
則FH∥EG，F(xiàn)H=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$，HG∥PA，HG=$\frac{1}{2}$PA=$\frac{1}{2}$．
∵PA⊥平面ABCD，
∴HG⊥平面ABCD，∴HG⊥EG，∴HG⊥FH，
∴S_△EFH=$\frac{1}{2}$FH•HG=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{8}$．
過(guò)點(diǎn)A作AM⊥EG，垂足為M，則AM=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
又AM⊥HG，∴AM⊥平面EFHG，
∴V_A-EFH=$\frac{1}{3}$S_△EFH•AM=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{8}$×$\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{96}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線垂直的證明，考查異面直線所成的角的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用，是中檔題．