Question

在△ABC中，角A、B、C所對應(yīng)的邊分別為a、b、c，且cosC=

b

a

+

3c

5a

．
（I）求sinA；
（Ⅱ）若a=8

2

，b=10，求

BA

在

BC

上的投影．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算,正弦定理,余弦定理

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（I）在△ABC中，由cosC=

b

a

+

3c

5a

，利用正弦定理可得cosC=

sinB

sinA

+

3sinC

5sinA

，化簡可得sinC（5cosA+3）=0，故有cosA=-

3

5

，從而求得sinA的值．
（Ⅱ）根據(jù)a=8

2

，b=10，cosC=

b

a

+

3c

5a

，由余弦定理求得c=2．再由正弦定理求得sinB=

bsinA

a

的值，可得cosB的值，從而求得

BA

在

BC

上的投影 c•cosB 的值．

解答： 解：（I）在△ABC中，∵cosC=

b

a

+

3c

5a

，∴cosC=

sinB

sinA

+

3sinC

5sinA

，
化簡可得 5sinAcosC=5sinB+3sinC，即  5sinAcosC=5sin（A+C）+3sinC，
即5sinAcosC=5sinAcosC+5cosAsinC+3sinC，
∴sinC（5cosA+3）=0，即 5cosA+3=0，
∴cosA=-

3

5

，sinA=

4

5

．
（Ⅱ）∵a=8

2

，b=10，cosC=

b

a

+

3c

5a

，由余弦定理可得

a2+b2-c2

2ab

=

b

a

+

3c

5a

，
解得：c=2．
再由正弦定理可得

b

sinB

=

a

sinA

，
∴sinB=

bsinA

a

=

2

2

，
∴cosB=

2

2

．
故

BA

在

BC

上的投影為c•cosB=2×

2

2

=

2

．

點評：本題主要考查正弦定理、余弦定理、三角恒等變換，一個向量在另一個向量上的投影的定義和求法，屬于中檔題．