Question

已知△ABC的內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，且A、B、C所對的邊分別是a，b，c，則下列結(jié)論中正確的是

 

．（寫出所有正確結(jié)論的序號）
①B=

π

3

；
②若a，b，c成等差數(shù)列，則△ABC為等邊三角形；
③若a=2c，則△ABC為銳角三角形；
④若

AB

2=

AB

•

AC

+

BA

•

BC

+

CA

•

CB

，則3A=C；
⑤若tanA+tanC+

3

＞0，則△ABC為鈍角三角形．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：解三角形

分析：①利用等差數(shù)列的定義和三角形內(nèi)角和定理即可判斷出；
②利用等差數(shù)列和余弦定理即可得出；
③利用余弦定理和勾股定理的逆定理即可得出；
④利用余弦定理、數(shù)量積運(yùn)算、類比③即可得出；
⑤利用兩角和的正切公式及其三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：①∵△ABC的內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，∴2B=A+C，又A+B+C=π，解得B=

π

3

，因此正確；
②若a，b，c成等差數(shù)列，則2b=a+c，∴4b²=（a+c）²=a²+c²+2ac，
又b2=a2+c2-2accos

π

3

=a²+c²-ac，代入上式可得（a-c）²=0，解得a=c．
∴△ABC為等邊三角形；因此正確．
③∵b2=a2+c2-2accos

π

3

，a=2c，∴b²=3c²，
∴c²+b²=4c²=a²，∴A=

π

2

．
∴△ABC為直角三角形，因此③不正確．
④∵

AB

2=

AB

•

AC

+

BA

•

BC

+

CA

•

CB

，
∴c2=bccosA+

1

2

ac+abcosC，
由余弦定理可得：c2=

1

2

(b2+c2-a2)+

1

2

ac+

1

2

(a2+b2-c2)，
化為c=2a，類比③可得C=

π

2

，A=

π

6

，∴C=3A．因此正確．
⑤若tanA+tanC+

3

＞0，則tan（A+C）（1-tanAtanC）+

3

＞0，
∵tan（A+C）=tan（π-B）=-tan

π

3

=-

3

，
∴-

3

+

3

tanAtanC+

3

＞0，化為tanAtanC＞0，可得A，C都為銳角，
因此△ABC為銳角三角形，故⑤不正確．
綜上可知：只有①②④正確．
故答案為：①②④．

點(diǎn)評：本題考查了余弦定理、勾股定理的逆定理、三角形的內(nèi)角和定理、三角函數(shù)的單調(diào)性、等差數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．