數(shù)列
1
12+2
，
1
22+4
，
1
32+6
，
1
42+8
，…前n項的和等于
3
4
-
2n+3
2(n+1)(n+2)
3
4
-
2n+3
2(n+1)(n+2)
．
分析：由題設條件知an=
1
n2+2n
=
1
n(n+2)
 =
1
2
(
1
n
-
1
n+2
 )，由此利用裂項求和法能夠求出數(shù)列
1
12+2
，
1
22+4
，
1
32+6
，
1
42+8
，…前n項的和．
解答：解：∵an=
1
n2+2n
=
1
n(n+2)
 =
1
2
(
1
n
-
1
n+2
 )，
∴Sn=a1+a2+a3+…+an
=
1
2
(1-
1
3
) +
1
2
(
1
2
-
1
4
)+
1
2
( 
1
3
-
1
5
)+…+
1
2
(
1
n
-
1
n+2
)
=
1
2
(1+
1
2
-
1
n+1
-
1
n+2
)
=
3
4
-
2n+3
2(n+1)(n+2)
．
故答案為：
3
4
-
2n+3
2(n+1)(n+2)
．
點評：本題考查數(shù)列前n項和的求法，解題時要認真審題，仔細觀察，注意尋找規(guī)律．解題時關鍵是找到an=
1
n2+2n
=
1
n(n+2)
 =
1
2
(
1
n
-
1
n+2
 )，然后利用裂項求和法解題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足a1=
1
2
，an+1=
(n+1)(2an-n)
an+4n
(n∈N+)
（1）求a2，a3，a4；
（2）是否存在實數(shù)t，使得數(shù)列
an+tn
an+n
是公差為-1的等差數(shù)列，若存在求出t的值，否則，請說明理由；
（3）記bn=
1
3
n+2
2
•an+2
(n∈N+)數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，求證：Sn＞-
2
3
+1
12
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設二次函數(shù)f(x)=(k-4)x2+kx
 &(k∈R)
，對任意實數(shù)x，有f（x）≤6x+2恒成立；數(shù)列{an}滿足an+1=f（an）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式和值域；
（2）試寫出一個區(qū)間（a，b），使得當a1∈（a，b）時，數(shù)列{an}在這個區(qū)間上是遞增數(shù)列，并說明理由；
（3）已知，是否存在非零整數(shù)λ，使得對任意n∈N*，都有log3(
1
1
2
-a1
)+log3(
1
1
2
-a2
)+…+log3(
1
1
2
-an
)＞(-1)n-12λ+nlog32-1-1+（-1）n-12λ+nlog32恒成立，若存在，求之；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，對任意n∈N*都有Sn=（
an+1
2
）2成立．
（1）求數(shù)列{an}的前n項和Sn；
（2）記數(shù)列bn=an+λ，n∈N*，λ∈R，其前n項和為Tn．
①若數(shù)列{Tn}的最小值為T6，求實數(shù)λ的取值范圍；
②若數(shù)列{bn}中任意的不同兩項之和仍是該數(shù)列中的一項，則稱該數(shù)列是“封閉數(shù)列”．試問：是否存在這樣的“封閉數(shù)列”{bn}，使得對任意n∈N*，都有Tn≠0，且
1
12
＜
1
T1
+
1
T2
+
1
T3
+L+
1
Tn
＜
11
18
．若存在，求實數(shù)λ的所有取值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

數(shù)列 1
1
2
，2
1
4
，3
1
8
，4
1
16
，5
1
32
，…，的前n項之和等于
n(n+1)
2
+1-(
1
2
)n
n(n+1)
2
+1-(
1
2
)n
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2008•南京模擬）函數(shù)f （x）是定義在[0，1]上的函數(shù)，滿足f （x）=2f （
x
2
），且f （1）=1，在每一個區(qū)間（
1
2k
，
1
2k-1
]（k=1，2，3，…）上，y=f （x）的圖象都是斜率為同一常數(shù)m的直線的一部分，記直線x=
5
3×2n
，x=
1
2n-1
，x軸及函數(shù)y=f （x）的圖象圍成的梯形面積為an（n=1，2，3，…），則數(shù)列{an}的通項公式為
12-m
9×22n+1
12-m
9×22n+1
．（用最簡形式表示）

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