Question

已知函數(shù)f（x）=

3

sinxcosx+sin²x-

3

2

，將函數(shù)f（x）的圖象向左平移

π

6

個(gè)單位，得到函數(shù)g（x）的圖象，設(shè)△ABC得三個(gè)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c
（1）若f（C）=0，c=

6

，2sinA=sinB，求a，b的值；
（2）若g（B）=0，且

m

=（cosA，cosB），

n

=（1，sinA-cosAtanB），求

m

•

n

的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,正弦定理,余弦定理

專題：三角函數(shù)的求值,解三角形,平面向量及應(yīng)用

分析：先用二倍角公式及兩角和與差的正弦公式化簡(jiǎn)f（x）=sin(2x-

π

6

)-1，根據(jù)圖象的平移求出g（x），然后根據(jù)正弦定理和余弦定理得出關(guān)于a，b的兩個(gè)等式，從而解出a，b．對(duì)于第二問，先由條件g（B）=0求出B，然后根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及兩角和與差的正余弦公式得到

m

•

n

=sin(A+

π

6

)，所以求sin(A+

π

6

)的取值范圍即可．

解答： 解：f(x)=

3

2

sin2x+

1-cos2x

2

-

3

2

=sin(2x-

π

6

)-1，g（x）=sin[2(x+

π

6

)-

π

6

]-1=sin(2x+

π

6

)-1，
所以：（1）由f（C）=0得：sin(2C-

π

6

)=1，∵0＜C＜π，∴-

π

6

＜2C-

π

6

＜

11π

6

，∴2C-

π

6

=

π

2

，∴C=

π

3

；
由2sinA=sinB，及正弦定理得：

a

sinA

=

b

2sinA

，所以b=2a  ①
由余弦定理得：a2+b2-2abcos

π

3

=6 ②
所以由①②解得：a=

2

，b=2

2

．
（2）由g（B）=0得：sin(2B+

π

6

)=1，∵0＜B＜π，∴

π

6

＜2B+

π

6

＜

7π

6

，∴2B+

π

6

=

π

2

，∴B=

π

6

；

m

•

n

=cosA+

3

2

(sinA-

3

3

cosA)=sin(A+

π

6

)，∵0＜A＜

5π

6

，∴

π

6

＜A+

π

6

＜π；
∴0＜sin(A+

π

6

)≤1，∴0＜

m

•

n

≤1，故

m

•

n

的取值范圍是：（0，1]．

點(diǎn)評(píng)：本題用到的知識(shí)點(diǎn)就是：二倍角的正余弦公式，兩角和與差的正余弦公式，正弦定理和余弦定理，根據(jù)角的取值確定三角函數(shù)值的范圍．