Question

在等差數(shù)列{a_n}中，a₁=3，其前n項(xiàng)和為S_n，等比數(shù)列{b_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，b₁=1，公比為q，且b₂+S₂=12，q=

S2

b2

．
（1）求a_n與b_n；
（2）設(shè)數(shù)列{c_n}滿足c_n=

1

Sn

，{c_n}的前n項(xiàng)和T_n，求證：T_n＜

2

3

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件得

q+3+a2=12 q= 3+a1 q

，解得q=3，a₂=6，由此能求出a_n與b_n．
（2）由Sn=

n(3+3n)

2

，得c_n=

1

Sn

=

2

n(3+3n)

=

2

3

(

1

n

-

1

n+1

)，由此利用裂項(xiàng)求和法能證明T_n＜

2

3

．

解答： 解：（1）∵在等差數(shù)列{a_n}中，a₁=3，其前n項(xiàng)和為S_n，
等比數(shù)列{b_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，b₁=1，公比為q，
且b₂+S₂=12，q=

S2

b2

．
∴

q+3+a2=12 q= 3+a1 q

，
解得q=3或q=-4（舍去），
∴a₂=6，d=a₂-a₁=6-3=3，
∴a_n=3+（n-1）•3=3n
b_n=3^n-1．
（2）∵Sn=

n(3+3n)

2

∴c_n=

1

Sn

=

2

n(3+3n)

=

2

3

(

1

n

-

1

n+1

)，
∴T_n=

2

3

(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)
=

2

3

(1-

1

n+1

)，
∴T_n＜

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查不等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．