9.已知奇函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d,(a,b,c,d∈R),滿足f(1)=1,若對(duì)任意的x∈[-1,1],都有|f(x)|≤1成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-$\frac{1}{2}$,4].

分析 根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)得出b=d=0,對(duì)a進(jìn)行討論,利用導(dǎo)數(shù)求出f(x)在[-1,1]上的單調(diào)性得出最值,根據(jù)fmax(x)≤1解出a的范圍.

解答 解:∵f(x)是奇函數(shù),∴f(-x)=-f(x),即-ax3+bx2-cx+d=-ax3-bx2-cx-d,
∴b=d=0.
∵f(1)=a+c=1,∴c=1-a.∴f(x)=ax3+(1-a)x.
∵f(x)是奇函數(shù),且對(duì)任意的x∈[-1,1],都有|f(x)|≤1成立,
∴fmax(x)≤1,
f′(x)=3ax2+1-a,
(1)若a=0,則f(x)=x在[-1,1]上是增函數(shù),∴fmax(x)=1,顯然符合題意;
(2)若0<a≤1,則f′(x)≥0,∴f(x)在[-1,1]上是增函數(shù),∴fmax(x)=f(1)=1,符合題意;
(3)若a>1,令f′(x)=0得x=±$\sqrt{\frac{a-1}{3a}}$,
∵$\frac{a-1}{3a}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{3a}$$<\frac{1}{3}$,
∴f(x)在[-1,-$\sqrt{\frac{a-1}{3a}}$]上單調(diào)遞增,則(-$\sqrt{\frac{a-1}{3a}}$,$\sqrt{\frac{a-1}{3a}}$)上單調(diào)遞減,在($\sqrt{\frac{a-1}{3a}}$,1]上單調(diào)遞增.
∵f(1)=1,∴f(-$\sqrt{\frac{a-1}{3a}}$)≤1,即$\frac{2}{3}$(a-1)$\sqrt{\frac{a-1}{3a}}$≤1,解得1<a≤4.
(4)若a<0,令f′(x)=0得x=±$\sqrt{\frac{a-1}{3a}}$,
①若$\sqrt{\frac{a-1}{3a}}$<1,即a<-$\frac{1}{2}$,則f(x)在[-1,-$\sqrt{\frac{a-1}{3a}}$]上單調(diào)遞減,則(-$\sqrt{\frac{a-1}{3a}}$,$\sqrt{\frac{a-1}{3a}}$)上單調(diào)遞增,在($\sqrt{\frac{a-1}{3a}}$,1]上單調(diào)遞減.
∵f(1)=1,∴fmax(x)>f(1)=1,不符合題意.
②若$\sqrt{\frac{a-1}{3a}}$≥1,即a≥-$\frac{1}{2}$,則f(x)在[-1,1]上單調(diào)遞增,則fmax(x)=f(1)=1,符合題意;
綜上,a的取值范圍是[-$\frac{1}{2}$,4].
故答案為[-$\frac{1}{2}$,4].

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系,奇函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)最值的計(jì)算,屬于中檔題.

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