Question

1．已知函數(shù)f（x）=$\frac{a}{x}$-xlnx（a∈R），g（x）=2x³-3x²．
（1）若m為正實(shí)數(shù)，求函數(shù)y=g（x），x∈[$\frac{1}{m}$，m]上的最大值和最小值；
（2）若對(duì)任意的實(shí)數(shù)s，t∈[$\frac{1}{2}$，2]，都有f（s）≤g（t），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最值即可；
（2）求出g（x）的最小值，問題轉(zhuǎn)化為a≤x²lnx+x恒成立，x∈[$\frac{1}{2}$，2]，令h（x）=x²lnx+x，x∈[$\frac{1}{2}$，2]，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．

解答 解：（1）g（x）=2x³-3x²，g′（x）=6x（x-1），
令g′（x）＞0，解得：x＞1或x＜0，
令g′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
∴g（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增，
若m＞0，$\frac{1}{m}$＜m，則m＞1，$\frac{1}{m}$＜1，
∴g（x）在[$\frac{1}{m}$，1）遞減，在（1，m]遞增，
∴g（x）_min=g（1）=-1，g（x）_max=g（$\frac{1}{m}$）=$\frac{2}{{m}^{3}}$-$\frac{3}{{m}^{2}}$或g（m）=2m³-3m²；
（2）若對(duì)任意的實(shí)數(shù)s，t∈[$\frac{1}{2}$，2]，都有f（s）≤g（t），
即f（s）_max＜g（t）_min，s，t∈[$\frac{1}{2}$，2]，
由（1）g（t）在[$\frac{1}{2}$，2]的最小值是-1，
只需$\frac{a}{x}$-xlnx≤-1即可，x∈[$\frac{1}{2}$，2]，
等價(jià)于a≤x²lnx-x恒成立，x∈[$\frac{1}{2}$，2]，
令h（x）=x²lnx-x，x∈[$\frac{1}{2}$，2]，
顯然h（x）在x∈[$\frac{1}{2}$，2]上遞增，
h（x）_min=h（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$ln2，
故a≤-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$ln2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．