Question

14．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{-x}-2，x≤0}\\{2ax-1，x＞0}\end{array}\right.$（a是常數(shù)且a＞0）．對(duì)于下列命題：
①函數(shù)f（x）的最小值是-1；
②函數(shù)f（x）在R上是單調(diào)函數(shù)；
③若f（x）＞0在（$\frac{1}{2}$，+∞）上恒成立，則a的取值范圍是a＞1；
④對(duì)任意x₁＜0，x₂＜0且x₁≠x₂，恒有f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＜$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$．
其中正確命題的序號(hào)是①④．

Answer 1

分析 ①由圖只需說明在點(diǎn)x=0處函數(shù)f（x）的最小值是-1；
②只需說明函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)性即可；
③只需說明f（x）＞0在[$\frac{1}{2}$，+∞）上恒成立，當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)取得最小值，從而求得a的取值范圍是a＞1；
④已知函數(shù)在（-∝，0）上的圖象在[0，+∞）上是下凹的，所以任取兩點(diǎn)連線應(yīng)在圖象的上方，故D正確．

解答 解：①由函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{-x}-2，x≤0}\\{2ax-1，x＞0}\end{array}\right.$（a是常數(shù)且a＞0）的圖象可知，函數(shù)在點(diǎn)x=0處函數(shù)f（x）的最小值是-1；故①正確；
②由圖象說明函函數(shù)f（x）在R上不是單調(diào)函數(shù)；所以②不正確；
③只需說明f（x）＞0在（$\frac{1}{2}$，+∞）上恒成立，則當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)取得最小值，
f（$\frac{1}{2}$）=a-1≥0，可得a≥1，
所以，若f（x）＞0在（$\frac{1}{2}$，+∞）上恒成立，則a的取值范圍是a≥1，故③不正確；
④已知函數(shù)函數(shù)在（-∝，0）上的圖象在[0，+∞）上是下凹的，
所以任取兩點(diǎn)連線應(yīng)在圖象的上方，
即f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＜$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$，故④正確．
故答案為：①④．

點(diǎn)評(píng) 利用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值是常用的方法，解答本題的關(guān)鍵是圖象法．