Question

9．下列命題：
①y=sin（$\frac{π}{2}$+x）是偶函數(shù)；
②若α，β是第一象限角，且α＜β，則tanα＜tanβ；
③y=tan（x+$\frac{π}{4}$）圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是（$\frac{π}{4}$，0）；
④cos1＜sin1＜tan1．
其中所有正確命題的序號(hào)是①③④．

Answer 1

分析 根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式得到y(tǒng)=cosx，再由余弦函數(shù)的性質(zhì)可判斷①，舉例子可判斷②，利用正切函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心求得函數(shù)y=tan（x+$\frac{π}{4}$）的圖象的對(duì)稱中心的坐標(biāo)可判斷③，由三角函數(shù)的單調(diào)性可得tan1＞1，$\frac{\sqrt{2}}{2}＜sin1＜1，cos1＜\frac{\sqrt{2}}{2}$判斷④．

解答 解：對(duì)于①：∵y=sin（$\frac{π}{2}$+x）=cosx，∴原函數(shù)是偶函數(shù)，故①正確；
對(duì)于②：當(dāng)$α=\frac{π}{4}$，β=$\frac{π}{4}+2π$時(shí)，滿足α＜β，則tanα=tanβ，故②不正確；
對(duì)于③：y=tan（x+$\frac{π}{4}$），令x+$\frac{π}{4}$=$\frac{kπ}{2}$，則x=$\frac{kπ}{2}-\frac{π}{4}$，k∈Z，可得y=tan（x+$\frac{π}{4}$）的圖象的對(duì)稱中心的坐標(biāo)是（$\frac{kπ}{2}-\frac{π}{4}$，0），k∈Z，
取k=1時(shí)，對(duì)稱中心為（$\frac{π}{4}$，0），故③正確；
對(duì)于④：由于tan1＞tan$\frac{π}{4}$=1，sin1＞sin$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且sin1＜1，cos1＜cos$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴cos1＜sin1＜tan1，故④正確．
故所有正確命題的序號(hào)是：①③④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，是中檔題．