Question

5．如圖，正方形BCDE的邊長(zhǎng)為a，已知AB=$\sqrt{3}$BC，將直角△ABE沿BE邊折起，A點(diǎn)在平面BCDE上的射影為D點(diǎn)，則對(duì)翻折后的幾何體有如下描述：
（1）AB與DE所成角的正切值是$\sqrt{2}$；
（2）三棱錐B-ACE的體積是$\frac{1}{6}{a^3}$；
（3）直線(xiàn)BA與平面ADE所成角的正弦值為$\frac{1}{3}$．
（4）平面EAB⊥平面ADE；
（5）四棱錐A-BCDE的外接球的表面積為πa²
其中錯(cuò)誤的敘述的是③⑤．

Answer 1

分析 對(duì)于①，由于BC∥DE，則∠ABC（或其補(bǔ)角）為AB與DE所成角，求出tan∠ABC加以判斷；
對(duì)于②，根據(jù)三棱錐的體積公式即可求V_B-ACE的體積；
對(duì)于③，確定∠BAE為直線(xiàn)BA與平面ADE所成角，求解即可判斷；
對(duì)于④，證明BE⊥平面ADE，利用面面平行的判定，可得平面EAB⊥平面ADE；
對(duì)于⑤，把四棱錐A-BCDE的外接球，轉(zhuǎn)化為以D為一個(gè)頂點(diǎn)，以DA、DC、DE為三條棱的正方體的外接球求解判斷．

解答 解：作出折疊后的幾何體直觀圖如圖所示：
對(duì)于①，∵AB=$\sqrt{3}$a，BE=a，∴AE=$\sqrt{2}$a．
∴AD=$\sqrt{A{E}^{2}-D{E}^{2}}=a$，∴AC=$\sqrt{C{D}^{2}+A{D}^{2}}=\sqrt{2}a$．
在△ABC中，cos∠ABC=$\frac{A{B}^{2}+B{C}^{2}-A{C}^{2}}{2AB•BC}=\frac{3{a}^{2}+{a}^{2}-2{a}^{2}}{2\sqrt{3}{a}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴sin∠ABC=$\sqrt{1-co{s}^{2}∠ABC}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴tan∠ABC=$\frac{sin∠ABC}{cos∠ABC}=\sqrt{2}$．
∵BC∥DE，∴∠ABC是異面直線(xiàn)AB，DE所成的角，故①正確；
對(duì)于②，三棱錐B-ACE的體積V=$\frac{1}{3}{S}_{△BCE}•AD=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}{a}^{2}•a=\frac{1}{6}{a}^{3}$，故②正確；
對(duì)于③，∵BE⊥平面ADE，∴∠BAE為直線(xiàn)BA與平面ADE所成角，
在△BAE中，∠BEA=90°，BE=a，AB=$\sqrt{3}$a，
∴sin∠BEA=$\frac{BE}{AB}=\frac{a}{\sqrt{3}a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，故③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，∵AD⊥平面BCDE，BE?平面BCDE，∴AD⊥BE，
∵BE⊥ED，AD∩ED=D，∴BE⊥平面ADE，
∵BE?平面EAB，∴平面EAB⊥平面ADE，故④正確；
對(duì)于⑤，四棱錐A-BCDE的外接球，即以D為一個(gè)頂點(diǎn)，以DA、DC、DE為三條棱的正方體的外接球，其半徑R滿(mǎn)足（2R）²=3a²，
∴R=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，則棱錐A-BCDE的外接球的表面積為4π•$（\frac{\sqrt{3}}{2}a）^{2}=3π{a}^{2}$，故⑤錯(cuò)誤．
∴錯(cuò)誤的命題是③⑤．
故答案為：③⑤．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圖形的翻折，考查空間線(xiàn)面位置關(guān)系，搞清翻折前后的變與不變是關(guān)鍵，是中檔題．