Question

19．設(shè)定義域為R的函數(shù)f（x）滿足下列條件：對任意x∈R，f（x）+f（-x）=0，且對任意x₁，x₂∈[1，a]（a＞1），當x₂＞x₁時，有f（x₂）＞f（x₁）＞0．給出下列四個結(jié)論：
①f（a）＞f（0）②f（$\frac{1+a}{2}$）＞f（$\sqrt{a}$）
③f（$\frac{1-3a}{1+a}$）＞f（3）④f（$\frac{1-3a}{1+a}$）＞f（a）
其中所有的正確結(jié)論的序號是①②④．

Answer 1

分析 根據(jù)題意確定出f（x）為奇函數(shù)，且f（x）在區(qū)間[1，a]上是單調(diào)增函數(shù)，根據(jù)a的范圍，利用增減性即可做出判斷．

解答 解：∵對任意x∈R，f（x）+f（-x）=0，
∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
∵對任意x₁，x₂∈[1，a]，當x₂＞x₁時，有f（x₂）＞f（x₁）＞0，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，a]上是單調(diào)增函數(shù)，
∵a＞1，∴①f（a）＞f（0）一定成立；
∵$\frac{1+a}{2}$＞$\sqrt{a}$＞1，∴②f（$\frac{1+a}{2}$）＞f（$\sqrt{a}$）一定成立；
∵$\frac{1-3a}{1+a}$-（-a）=$\frac{（a-1）^{2}}{1+a}$＞0，∴$\frac{1-3a}{1+a}$＞-a，
∴a＞$\frac{3a-1}{1+a}$=3-$\frac{4}{1+a}$≥1，
∴-a＜$\frac{1-3a}{1+a}$，
由奇函數(shù)的對稱性知：f（$\frac{1-3a}{1+a}$＞f（a），故④正確；
由3＞$\frac{3a-1}{1+a}$＞0，但3，$\frac{3a-1}{1+a}$是否在[1，a]上不能確定，故f（3）和f（$\frac{3a-1}{1+a}$）的大小不能確定，故③錯誤，
則正確的為①②④．
故答案為：①②④

點評 此題考查了抽象函數(shù)及其應(yīng)用，熟練掌握函數(shù)的奇偶性及增減性是解本題的關(guān)鍵．