Question

14．已知x，y滿足直線l：x+2y=6．
（1）求原點(diǎn)O關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，求$k=\frac{y-1}{x-2}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)對(duì)稱后的點(diǎn)P（a，b），根據(jù)點(diǎn)的對(duì)稱即可求原點(diǎn)O關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（2）根據(jù)斜率公式可知，表示的為動(dòng)點(diǎn)（x，y）到定點(diǎn)（2，1）的兩點(diǎn)的斜率的取值范圍．

解答 解：（1）設(shè)原點(diǎn)O關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，b），
則滿足$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}=2}\\{\frac{a}{2}+2×\frac{2}=6}\end{array}\right.$，解得a=$\frac{12}{5}$，b=$\frac{24}{5}$，故$P（\frac{12}{5}，\frac{24}{5}）$；
（2）當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，$k=\frac{y-1}{x-2}$的幾何意義為到點(diǎn)C（2，1）的斜率的取值范圍．
當(dāng)x=1時(shí)，y=$\frac{5}{2}$，當(dāng)x=3時(shí)，y=$\frac{3}{2}$，
由可得A（1，$\frac{5}{2}$），B（3，$\frac{3}{2}$），
從而k_BC=$\frac{\frac{3}{2}-1}{3-2}$=$\frac{1}{2}$，k_AC=$\frac{1-\frac{5}{2}}{2-1}$=-$\frac{3}{2}$，
∴k的范圍為（-∞，-$\frac{3}{2}$]∪[$\frac{1}{2}$，+∞）

點(diǎn)評(píng) 本試題主要是考查了直線的方程以及點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)的求解和斜率幾何意義的靈活運(yùn)用．