Question

7．若數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為6-12t，公差為6的等差數(shù)列；數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n=3ⁿ-t，其中t為實(shí)常數(shù)．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，試證明：對(duì)于任意的n（n∈N^*），均存在正整數(shù)C_n，使得b_n+1=a${\;}_{{c}_{n}}$，并求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n；
（Ⅲ）設(shè)數(shù)列{d_n}滿足d_n=a_n•b_n，若{d_n}中不存在這樣的項(xiàng)d_k，使得“d_k＜d_k-1”與“d_k＜d_k+1”同時(shí)成立（其中k≥2，k∈N^*），求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）直接由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)，由{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n=3ⁿ-t，得到當(dāng)n≥2時(shí)，$_{n}=（{3}^{n}-t）-（{3}^{n-1}-t）=2•{3}^{n-1}$，再求出首項(xiàng)，可得數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列求得t=1，代入數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，再由$_{n+1}=2•{3}^{n}=6•{3}^{n-1}=6（{3}^{n-1}+2）-12$，可得${a}_{{c}_{n}}=6（2+{3}^{n-1}）-12=_{n+1}$，利用數(shù)列的分組求和可得數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n=2n+$\frac{1-{3}^{n}}{1-3}=\frac{1}{2}×{3}^{n}+2n-\frac{1}{2}$；
（3）由題意得$7vbj5vv_{n}=\left\{\begin{array}{l}{6（3-t）（1-2t），n=1}\\{4（n-2t）•{3}^{n}，n≥2}\end{array}\right.$，進(jìn)一步得到當(dāng)n≥2時(shí)，$5xf7x77_{n+1}-phrd5j7_{n}=4（n+1-2t）•{3}^{n+1}-4（n-2t）•{3}^{n}$=$8[n-（2t-\frac{3}{2}）]•{3}^{n}$，然后分2t-$\frac{3}{2}$＜2，2≤2t$-\frac{3}{2}＜3$，m$≤2t-\frac{3}{2}＜m+1$（m∈N，m≥2）結(jié)合已知條件列式求得t的取值范圍．

解答 （1）解：∵數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，且a₁=6-12t，d=6，
∴a_n=（6-12t）+6（n-1）=6n-12t，而數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n=3ⁿ-t，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，$_{n}=（{3}^{n}-t）-（{3}^{n-1}-t）=2•{3}^{n-1}$．
又b₁=S₁=3-t，
∴$_{n}=\left\{\begin{array}{l}{3-t，n=1}\\{2•{3}^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$；
（2）證明：∵數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，∴3-t=2•3^1-1=2，即t=1．
∴a_n=6n-12．
對(duì)于任意的n（n∈N^*），由于$_{n+1}=2•{3}^{n}=6•{3}^{n-1}=6（{3}^{n-1}+2）-12$，
令${c}_{n}={3}^{n-1}+2$，則${a}_{{c}_{n}}=6（2+{3}^{n-1}）-12=_{n+1}$，
∴命題成立．
數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n=2n+$\frac{1-{3}^{n}}{1-3}=\frac{1}{2}×{3}^{n}+2n-\frac{1}{2}$；
（3）由題意得$7755t5l_{n}=\left\{\begin{array}{l}{6（3-t）（1-2t），n=1}\\{4（n-2t）•{3}^{n}，n≥2}\end{array}\right.$，
由于當(dāng)n≥2時(shí)，$tjtdhxx_{n+1}-vlnv7t5_{n}=4（n+1-2t）•{3}^{n+1}-4（n-2t）•{3}^{n}$=$8[n-（2t-\frac{3}{2}）]•{3}^{n}$，
①若2t-$\frac{3}{2}$＜2，即$t＜\frac{7}{4}$，則d_n+1＞d_n，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，{d_n}是遞增數(shù)列，
故由題意得：d₁≤d₂，即6（3-t）（1-2t）≤36（2-2t），解得：$\frac{-5-\sqrt{97}}{4}≤t≤\frac{-5+\sqrt{97}}{4}$$＜\frac{7}{4}$；
②若2≤2t$-\frac{3}{2}＜3$，即$\frac{7}{4}≤t＜\frac{9}{4}$，則當(dāng)n≥3時(shí)，{d_n}是遞增數(shù)列，
故由題意得：d₂=d₃，即4（2t-2）•3²=4（2t-3）•3³，解得t=$\frac{7}{4}$；
③若m$≤2t-\frac{3}{2}＜m+1$（m∈N，m≥2），即$\frac{m}{2}+\frac{3}{4}≤t＜\frac{m}{2}+\frac{5}{4}$（m∈N，m≥2），
則當(dāng)2≤n≤m時(shí)，{d_n}是遞減數(shù)列，當(dāng)n≥m+1時(shí)，{d_n}是遞增數(shù)列，
則由題意得：d_m=d_m+1，即4（2t-m）•3^m=4（2t-m-1）•3^m+1，解得t=$\frac{2m+3}{4}$．
綜上所述，t的取值范圍是$\frac{-5-\sqrt{97}}{4}≤t≤\frac{-5+\sqrt{97}}{4}$或t=$\frac{2m+3}{4}$（m∈N，m≥2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查數(shù)列的函數(shù)特性，（Ⅲ）的求解考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，考查學(xué)生的推理論證能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力，綜合性強(qiáng)，難度較大．