Question

10．定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足：對任意正數(shù)a，b，若f（a）-f（b）=1，則a-b＜1，
稱f（x）是（0，+∞）上的“1級函數(shù)”，給出函數(shù)f（x）=x³，g（x）=e^x，h（x）=x+lnx，其中“1級函數(shù)”的個數(shù)為（　�。�

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 在f（x）=x³中，若a-b≥1，a≥1，b＞0，則（a-b）（a²+ab+b²）一定大于0，從而a-b＜1；在g（x）=e^x中，由a=ln（1+e^b），b=ln（e^a-1），a-b=ln（1+e^b）-ln（e^a-1）＜1；在函數(shù)h（x）=x+lnx中，a-b≥1時，a+lna-b-lnb＞1，不成立，從而a-b＜1．

解答 解：①在f（x）=x³中，對任意正數(shù)a，b，若f（a）-f（b）=1，
則a³-b³=（a-b）（a²+ab+b²）=1，
∴若a-b≥1，a≥1，b＞0，則（a-b）（a²+ab+b²）一定大于0，
與題意不符號，
故a-b＜1．故函數(shù)f（x）=x³是“1級函數(shù)”；
②在g（x）=e^x中，對任意正數(shù)a，b，若f（a）-f（b）=1，
則e^a-e^b=1，∴e^a=1+e^b，e^b=e^a-1，
∴a=ln（1+e^b），b=ln（e^a-1），
∴a-b=ln（1+e^b）-ln（e^a-1）=$ln（\frac{1+{e}^}{{e}^{a}-1}）$＜ln（$\frac{{e}^{a}}{{e}^{a}-1}$）＜1，
故函數(shù)g（x）=e^x是“1級函數(shù)”；
③在函數(shù)h（x）=x+lnx中，對任意正數(shù)a，b，若f（a）-f（b）=1，
則a+lna-b-lnb=（a-b）+ln$\frac{a}$=1，
∴a-b≥1時，a+lna-b-lnb＞1，不成立，
∴a-b＜1，故函數(shù)fh（x）=x+lnx不是“1級函數(shù)”．
故選：D．

點評 本題考查“1級函數(shù)”的個數(shù)的判斷，是中檔題，解題時要認真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運用．