Question

求（1）（x+1）（x-1）（x-

1

x

）⁶展開式中的x⁴項的系數(shù)．
（2）化簡：

C

1 n

+

C

2 n

•3+

C

3 n

•32+…+

C

n n

•3n-1．

Answer 1

考點：二項式定理的應用,組合及組合數(shù)公式

專題：計算題,排列組合,二項式定理

分析：（1）求出(x-

1

x

)6的通項，再由分類原理，即可得到x⁴項的系數(shù)；
（2）提取

1

3

，運用添項，湊成二項式展開式的右邊，再由二項式定理，即可得到．

解答： 解：（1）(x+1)(x-1)(x-

1

x

)6=(x2-1)(x-

1

x

)6，
在(x-

1

x

)6中通項Tr+1=

C

r 6

(-1)rx6-2r，
而x²項的r=2，T3=15x2
x⁴項的r=1，T2=-6x4，
由x²•15x²+（-1）•（-6x⁴）=21x⁴
所求展開式中x⁴項的系數(shù)為21．
（2）原式=

1

3

(

C

1 n

•3+

C

2 n

•32+…+

C

n n

•3n)=

1

3

(

C

0 n

•30+

C

1 n

•3+

C

2 n

•32+…+

C

n n

•3n)-

1

3

=

1

3

(

C

0 n

1n•30+

C

1 n

1n-1•3+

C

2 n

1n-2•32+…+

C

n n

10•3n)-

1

3

=

1

3

(1+3)n-

1

3

=

4

3

n-

1

3

．

點評：本題考查二項式定理的運用，求指定的項的系數(shù)，注意分類思想的運用，考查組合數(shù)與二項展開式的關系，屬于中檔題．