Question

在某校組織的一次籃球定點(diǎn)投籃測試中，規(guī)定每人最多投3次，每次投籃的結(jié)果相互獨(dú)立．在A處每投進(jìn)一球得3分，在B處每投進(jìn)一球得2分，否則得0分．將學(xué)生得分逐次累加并用ξ表示，如果ξ的值不低于DE分就認(rèn)為通過測試，立即停止投籃，否則繼續(xù)投籃，直到投完三次為止．投籃的方案有以下兩種：方案1：先在A處投一球，以后都在B處投；方案2：都在P處投籃．甲同學(xué)在AD₁E處投籃的命中率為

2

3

，在B處投籃的命中率為0.8．
（Ⅰ）甲同學(xué)選擇方案1．①求甲同學(xué)測試結(jié)束后所得總分等于4的概率；②求甲同學(xué)測試結(jié)束后所得總分ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ；
（Ⅱ）你認(rèn)為甲同學(xué)選擇哪種方案通過測試的可能性更大？說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量及其分布列,離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）①在A處投籃命中記作A，不中記作

.

A

；在B處投籃命中記作B，不中記作

.

B

；甲同學(xué)測試結(jié)束后所得總分為4可記作事件

.

A

BB，由此能求出甲同學(xué)測試結(jié)束后所得總分等于4的概率．
②ξ的所有可能取值為0，2，3，4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．
（Ⅱ）甲同學(xué)選擇方案1通過測試的概率為P₁，選擇方案2通過測試的概率為P₂，分別求出p₁，p₂，由此得到甲同學(xué)應(yīng)選擇方案2通過測試的概率更大．

解答： 20．（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）①在A處投籃命中記作A，不中記作

.

A

；
在B處投籃命中記作B，不中記作

.

B

；
甲同學(xué)測試結(jié)束后所得總分為4可記作事件

.

A

BB，
則P(

.

A

BB)=P(

.

A

)P(B)P(B)=0.5×0.8×0.8=0.32…（2分）
②ξ的所有可能取值為0，2，3，4，
P(ξ=2)=P(

.

A

B

.

B

)+P(

.

A

.

B

B)=P(

.

A

)P(B)P(

.

B

)+P(

.

A

)P(

.

B

)P(B)
=0.5×0.8×（1-0.8）+0.5×（1-0.8）×0.8=0.16，
P（ξ=3）=P（A）=0.5，
P(ξ=4)=P(

.

A

BB)=P(

.

A

)P(B)P(B)=0.5×0.8×0.8=0.32，
P（ξ=0）=1-0.16-0.5-0.32=0.02，…（6分）
∴ξ的分布列為：

ξ	0	2	3	4
P	0.02	0.16	0.5	0.32

Eξ=0×0.02+2×0•16+3×0.5+4×0.32=3.1．
（Ⅱ）甲同學(xué)選擇方案1通過測試的概率為P₁，
選擇方案2通過測試的概率為P₂，
P₁=P（ξ≥3）=0.5+0.32=0.82，
P₂=P（

.

B

BB）+P（B

.

B

B）+P（BB）=2×0.8×0.2+0.8×0.8=0.896，
∵P₂＞P₂，
∴甲同學(xué)應(yīng)選擇方案2通過測試的概率更大．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，是中檔題．