Question

已知函數(shù)f（x）=

xlnx

x+1

和直線l：y=m（x-1）．
（1）當(dāng)曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線l垂直時(shí)，求原點(diǎn)O到直線l的距離；
（2）若對(duì)于任意的x∈[1，+∞），f（x）≤m（x-1）恒成立，求m的取值范圍；
（3）求證：ln

4	2n+1

＜

n

i=1

i

4i2-1

（n∈N⁺）

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到f(1)=

1

2

，由曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線l垂直求出m=-2，則直線l的方程可求，由點(diǎn)到直線的距離公式得答案；
（Ⅱ）把對(duì)于任意的x∈[1，+∞），f（x）≤m（x-1）恒成立轉(zhuǎn)化為lnx≤m(x-

1

x

)，然后構(gòu)造函數(shù)g(x)=lnx-m(x-

1

x

)，利用導(dǎo)數(shù)對(duì)m≤0和m＞0分類討論求得m的取值范圍；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng)x＞1，m=

1

2

時(shí)，lnx＜

1

2

(x-

1

x

)成立，令x=

2k+1

2k-1

，(k∈N*)，結(jié)合不等式

2k+1

2k-1

＜

1

2

(

2k+1

2k-1

-

2k-1

2k+1

)=

4k

4k2-1

得到不等式

1

4

[ln(2k+1)-ln(2k-1)]＜

4k

4k2-1

，(k∈N*)，即

1

4

(ln3-ln1)＜

1

4×12-1

，然后利用累加求和得答案．

解答： （Ⅰ）解：由f（x）=

xlnx

x+1

，得f′(x)=

x+1+lnx

(x+1)2

，
∴f(1)=

1

2

，于是m=-2，直線l的方程為2x+y-2=0．
原點(diǎn)O到直線l的距離為

|-2|

5

=

2 5

5

；

（Ⅱ）解：對(duì)于任意的x∈[1，+∞），f（x）≤m（x-1）恒成立，即

xlnx

x+1

≤m(x-1)，也就是lnx≤m(x-

1

x

)，
設(shè)g(x)=lnx-m(x-

1

x

)，即?x∈[1，+∞），g（x）≤0成立．
g′(x)=

1

x

-m(1+

1

x2

)=

-mx2+x-m

x2

．
①若m≤0，?x使g′（x）＞0，g（x）≥g（1）=0，這與題設(shè)g（x）≤0矛盾；
②若m＞0，方程-mx²+x-m=0的判別式△=1-4m²，
當(dāng)△≤0，即m≥

1

2

時(shí)，g′（x）≤0，
∴g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴g（x）≤g（1）=0，即不等式成立．
當(dāng)0＜m＜

1

2

時(shí)，方程-mx²+x-m=0的兩根為x₁，x₂（x₁＜x₂），
x1=

1- 1-4m2

2m

∈(0，1)，x2=

1+ 1-4m2

2m

∈(1，+∞)，
當(dāng)x∈（x₁，x₂）時(shí)，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，g（x）＞g（1）=0與題設(shè)矛盾．
綜上所述，m≥

1

2

；

（Ⅲ）證明：由（Ⅱ）知，當(dāng)x＞1，m=

1

2

時(shí)，lnx＜

1

2

(x-

1

x

)成立．
不妨令x=

2k+1

2k-1

，(k∈N*)，
∴

2k+1

2k-1

＜

1

2

(

2k+1

2k-1

-

2k-1

2k+1

)=

4k

4k2-1

，

1

4

[ln(2k+1)-ln(2k-1)]＜

4k

4k2-1

，(k∈N*)．
∴

1

4

(ln3-ln1)＜

1

4×12-1

．

1

4

(ln5-ln3)＜

2

4×22-1

．
…

1

4

(ln(2n+1)-ln(2n-1))＜

n

4n2-1

．
累加可得：

1

4

ln(2n+1)＜

n

i=1

i

4i2-1

，（n∈N^*）．
即ln

4	2n+1

＜

n

n+1

i

4i2-1

（n∈N^*）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過(guò)曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)表達(dá)式，對(duì)于（Ⅲ）的證明，引入不等式

2k+1

2k-1

＜

1

2

(

2k+1

2k-1

-

2k-1

2k+1

)=

4k

4k2-1

是關(guān)鍵，要求考生具有較強(qiáng)的邏輯思維能力和靈活變形能力，是壓軸題．