Question

11．已知向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$sinωx，2cosωx），$\overrightarrow$=（2cosωx，cosωx）（ω∈N^*），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+k，且f（x）圖象中相鄰兩條對稱軸間的距離不小于$\frac{π}{2}$．求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間，若f（x）=0在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上有解，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、二倍角公式及輔助角公式求得f（x）的解析式，根據(jù)周期公式及ω的取值范圍，求得ω的值，求得f（x）的解析式，即可求得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，由f（x）=0，求得k=-1-2sin（2x+$\frac{π}{6}$），利用x的取值范圍，即可求得k的取值范圍．

解答 解：f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+k=$\sqrt{3}$sinωx•2cosωx+2cosωx•cosωx+k，
=2$\sqrt{3}$sinωxcosωx+（2cos²ωx-1）+k+1，
=$\sqrt{3}$sin2ωx+cos2ωx+k+1，
=2sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）+k+1，
由題意可知：T=$\frac{2π}{2ω}$=$\frac{π}{ω}$，
$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{2ω}$≥$\frac{π}{2}$．解得：ω≤1，
∵ω∈N^*，
∴ω=1，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+k+1，
由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，解得：kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z，
f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z；
若f（x）=0，即2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+k+1=0，
k=-1-2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
由x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，2sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-1，2]，
∴k∈[-3，0]，
∴k的取值范圍[-3，0]．

點(diǎn)評 本題考查三角函數(shù)的恒等變形，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，三角函數(shù)的周期性及其求法，以及正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，其中利用三角函數(shù)的恒等變換及平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則把f（x）的解析式化為一個角的正弦函數(shù)是解本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．