Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=-3，且2a_n+1a_n+a_n+1+4a_n+3=0，記b_n=

1

an+1

．
（1）求證：數(shù)列{b_n+2}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法

分析：（1）根據(jù)遞推熟練，以及等比數(shù)列的定義即可證明數(shù)列{b_n+2}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（2）根據(jù)b_n=

1

an+1

，即可求數(shù)列{a_n}的通項公式．

解答： 解：（1）∵b_n=

1

an+1

，∴b_n+2=

1

an+1

+2=

1+2an+2

1+an

=

3+2an

1+an

．
則

bn+1+2

bn+2

=

3+2an+1 1+an+1

3+2an 1+an

=

(1+an)[1+2+2an+1]

(1+an+1)[1+2+2an]

=

2an+1an+2an+1+3an+3

2an+1an+3an+1+2an+3

，
∵2a_n+1a_n+a_n+1+4a_n+3=0，
∴2a_n+1a_n+2a_n+1+3a_n+3=a_n+1-a_n，
2a_n+1a_n+3a_n+1+2a_n+3=2（a_n+1-a_n），
∴

bn+1+2

bn+2

=

2an+1an+2an+1+3an+3

2an+1an+3an+1+2an+3

=

an+1-an

2(an+1-an)

=

1

2

，
故數(shù)列{b_n+2}為等比數(shù)列，公比q=

1

2

，首項b₁+2=

1

a1+1

+2=

3

2

．．
∴b_n+2=

3

2

•（

1

2

）^n-1=3•（

1

2

）ⁿ，
∴b_n=

3

2

•（

1

2

）^n-1=3•（

1

2

）ⁿ-2，
（2）∵b_n=

1

an+1

=3•（

1

2

）ⁿ-2，
∴an=

1

3•( 1 2 )n-2

-1．

點評：本題主要考查等比數(shù)列的證明以及遞推數(shù)列的應用，綜合性較強，運算難度較大．