Question

設函數(shù)．
（Ⅰ）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）單調區(qū)間．

Answer 1

【答案】分析：（I）先求導數(shù)f'（x），欲求出切線方程，只須求出其斜率即可，故先利用導數(shù)求出在x=0處的導函數(shù)值，再結合導數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率，從而問題解決．
（II）對字母a進行分類討論，再令f'（x）大于0，解不等式，可得函數(shù)的單調增區(qū)間，令導數(shù)小于0，可得函數(shù)的單調減區(qū)間．
解答：解：因為，所以．
（Ⅰ）當a=1時，，，
所以f（0）=1，f'（0）=1．
所以曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為x-y+1=0．…（4分）
（Ⅱ）因為，…（5分）
（1）當a=0時，由f'（x）＞0得x＜0；由f'（x）＜0得x＞0．
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）單調遞增，在區(qū)間（0，+∞）單調遞減．…（6分）
（2）當a≠0時，設g（x）=ax²-2x+a，方程g（x）=ax²-2x+a=0的判別式△=4-4a²=4（1-a）（1+a），…（7分）
①當0＜a＜1時，此時△＞0．
由f'（x）＞0得，或；
由f'（x）＜0得．
所以函數(shù)f（x）單調遞增區(qū)間是和，
單調遞減區(qū)間．…（9分）
②當a≥1時，此時△≤0．所以f'（x）≥0，
所以函數(shù)f（x）單調遞增區(qū)間是（-∞，+∞）．…（10分）
③當-1＜a＜0時，此時△＞0．
由f'（x）＞0得；
由f'（x）＜0得，或．
所以當-1＜a＜0時，函數(shù)f（x）單調遞減區(qū)間是和，
單調遞增區(qū)間．…（12分）
④當a≤-1時，此時△≤0，f'（x）≤0，所以函數(shù)f（x）單調遞減區(qū)間是（-∞，+∞）．…（13分）
點評：本題以三次函數(shù)為載體，主要考查函數(shù)單調性的應用、利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結合思想、化歸與轉化思想．屬于中檔題．