Question

已知線(xiàn)段，的中點(diǎn)為，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足（為正常數(shù)）．

（1）建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求動(dòng)點(diǎn)所在的曲線(xiàn)方程；

（2）若，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，且，試求面積的最大值和最小值．

 

Answer 1

（1）；（2）的最小值為，最大值為1.

【解析】

試題分析：（1）先以為圓心，所在直線(xiàn)為軸建立平面直角坐標(biāo)系，以與的大小關(guān)系進(jìn)行分類(lèi)討論，從而即可得到動(dòng)點(diǎn)所在的曲線(xiàn)；

（2）當(dāng)時(shí)，其曲線(xiàn)方程為橢圓，設(shè)，， 的斜率為，則的方程為，將直線(xiàn)的方程代入橢圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合涉及弦長(zhǎng)問(wèn)題，常用“韋達(dá)定理法”設(shè)而不求計(jì)算弦長(zhǎng)（即應(yīng)用弦長(zhǎng)公式），求得△AOB面積，最后求出面積的最大值即可，從而解決問(wèn)題．

（1）以為圓心，所在直線(xiàn)為軸建立平面直角坐標(biāo)系.若，即，動(dòng)點(diǎn)所在的曲線(xiàn)不存在；若，即，動(dòng)點(diǎn)所在的曲線(xiàn)方程為；若，即，動(dòng)點(diǎn)所在的曲線(xiàn)方程為.……4分

(2)當(dāng)時(shí)，其曲線(xiàn)方程為橢圓.由條件知兩點(diǎn)均在橢圓上，且

設(shè)，， 的斜率為，則的方程為，的方程為解方程組，得，

同理可求得，

面積=

令則

令所以，即

當(dāng)時(shí)，可求得,故，

故的最小值為，最大值為1.

考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題.