Question

14．若雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的一條漸近線經(jīng)過點（3，-4），則此雙曲線的離心率為$\frac{5}{3}$．

Answer 1

分析 求出雙曲線的漸近線方程，代入點（3，-4），可得b=$\frac{4}{3}$a，再由c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$，e=$\frac{c}{a}$，即可得到所求值．

解答 解：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
由漸近線過點（3，-4），
可得-4=-$\frac{3b}{a}$，
即b=$\frac{4}{3}$a，
c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+\frac{16}{9}{a}^{2}}$=$\frac{5}{3}$a，
可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{5}{3}$．
故答案為：$\frac{5}{3}$．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用雙曲線的性質(zhì)，主要是漸近線方程和離心率，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．