Question

已知橢圓C的右焦點(diǎn)為F₂（2，0），實(shí)軸的長(zhǎng)為4

2

．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過(guò)點(diǎn)F₁（-2，0）作兩條互相垂直的直線分別交橢圓C于點(diǎn)A，B和D，E，求|AB|+|DE|的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）由題可知：橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，其標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為：

x2

a2

+

y2

b2

=1，由已知得實(shí)軸的長(zhǎng)為2a=4

2

，由此能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）當(dāng)AB或DE所在的直線斜率為零時(shí)，另一條直線的斜率不存在，此時(shí)|AB|+|DE|=2

2

+4

2

=6

2

；當(dāng)AB與DE所在的直線斜率都存在，而且不為零時(shí)，設(shè)AB所在直線的斜率為k，則DE所在的直線斜率為-

1

k

．則AB所在直線方程為：y=k（x+2）．聯(lián)立

y=k(x+2) x2 8 + y2 4 =1

得（2k²+1）x²+8k²x+8k²-8=0．由此利用韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式、二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合已知條件能求出當(dāng)k=±1時(shí)，|AB|+|DE|取得最小值

16 2

3

．

解答： 解：（1）由題可知：橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，其標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為：

x2

a2

+

y2

b2

=1
又實(shí)軸的長(zhǎng)為2a=4

2

，則a=2

2

，a²=8；c²=a²-b²=2²=4，故b²=4．
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

x2

8

+

y2

4

=1…（4分）
（2）由題可知：
1°當(dāng)AB或DE所在的直線斜率為零時(shí)，另一條直線的斜率不存在，此時(shí)|AB|+|DE|=2

2

+4

2

=6

2

…（6分）
2°當(dāng)AB與DE所在的直線斜率都存在，而且不為零時(shí)，設(shè)AB所在直線的斜率為k，則DE所在的直線斜率為-

1

k

．
則AB所在直線方程為：y=k（x+2）．
聯(lián)立

y=k(x+2) x2 8 + y2 4 =1

得：x²+2k²（x+2）²-8=0，即（2k²+1）x²+8k²x+8k²-8=0．
設(shè)A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x₁，x₂則由韋達(dá)定理可得：x1+x2=-

8k2

2k2+1

；x1x2

8k2-8

2k2+1

…（8分）
則|AB|=

k2+1

|x1-x2|=

k2+1

(x1+x2)2-4x1x2

=

k2+1

( 8k2 2k2+1 )2-4× 8k2-8 2k2+1

=

k2+1

32(k2+1) (2k2+1)2

=4

2

×

k2+1

2k2+1

以-

1

k

代換上式中的k可得：|DE|=4

2

×

(- 1 k )2+1

2(- 1 k )2+1

=4

2

×

1+k2

2+k2

…（10分）

則|AB|+|DE|=4

2

×

k2+1

2k2+1

+4

2

×

1+k2

2+k2

=4

2

(k2+1)(

1

2k2+1

+

1

2+k2

)
=4

2

(k2+1)

3(k2+1)

(2k2+1)(2+k2)

=

12 2

( 2k2+1 k2+1 )( 2+k2 k2+1 )

=

12 2

(2- 1 k2+1 )(1+ 1 k2+1 )

令t=

1

k2+1

，則t∈（0，1]．此時(shí)f(t)=(2-

1

k2+1

)(1+

1

k2+1

)=(2-t)(1+t)=-t2+t+2，t∈(0，1]．
由二次函數(shù)的性質(zhì)可得：f(t)min=f(1)=2，f(t)max=f(

1

2

)=

9

4

．故(|AB|+|DE|)min=

12 2

9 4

=

16 2

3

．
此時(shí)t=

1

2

，即k²=1，k=±1．
綜上可知：當(dāng)k=±1時(shí)|AB|+|DE|取得最小值，最小值為

16 2

3

．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查線段和的最小值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．