Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求的值域；

（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，求函數(shù)的對(duì)稱軸．

（3）若圖象上有一個(gè)最低點(diǎn)，如果圖象上每點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，然后向左平移1個(gè)單位可得的圖象，又知的所有正根從小到大依次為，且，求的解析式．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

分析：（1）時(shí)，值域?yàn)?/span>，時(shí)，利用三角函數(shù)的有界性可得結(jié)果；（2）由時(shí)，函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，利用輔助角公式可得關(guān)于的方程從而可求出的值，進(jìn)而確定函數(shù)的解析式，由兩角和的正弦公式將其化為一個(gè)角的三角函數(shù)，利用正弦函數(shù)的對(duì)稱性求解即可；（3）根據(jù)圖象上有一個(gè)最低點(diǎn)，結(jié)合輔助角公式可求得，從而得，由，分類討論，排除不合題意的，從而可得結(jié)果.

詳解：（1）當(dāng)b=0時(shí)，函數(shù)g（x）=asinx+c．

當(dāng)a=0時(shí)，值域?yàn)椋?/span>{c}．

當(dāng)a≠0時(shí)，值域?yàn)椋?/span>[c﹣|a|，c+|a|]．（

（2）當(dāng)a=1，c=0時(shí)，

∵g（x）=sinx+bcosx 且圖象關(guān)于x=對(duì)稱，

∴||=，∴b=﹣．

∴函數(shù) y=bsinx+acosx 即：y=﹣sinx+cosx= cos（x+）．

由 x+=kπ，k∈z，可得函數(shù)的對(duì)稱軸為：x=kπ﹣，k∈z．

（3）由g（x）=asinx+bcosx+c= sin（x+）+c，其中，sin=，cos=．

由g（x）圖象上有一個(gè)最低點(diǎn) （，1），所以，

∴，

∴g（x）=（c﹣1）sin（x﹣）+c．

又圖象上每點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，然后向左平移1個(gè)單位可得y=f（x）的圖象，則f（x）=（c﹣1）sinx+c．

又∵f（x）=3的所有正根從小到大依次為 x1、x2、x3…xn、…，且 xn﹣xn﹣1=3 （n≥2 ），

所以y=f（x）與直線y=3的相鄰交點(diǎn)間的距離相等，根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，直線y=3要么過f（x）的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，要么是y=，

即：2c﹣1=3或 1﹣c+c=3（矛盾）或 =3，解得c=2 或 c=3．

當(dāng)c=2時(shí)，函數(shù)的 f（x）=sin+2，T=6．

直線 y=3和 f（x）=sin+2相交，且 xn﹣xn﹣1=3 （n≥2 ），周期為3（矛盾）．

當(dāng)c=3時(shí)，函數(shù) f（x）=2sin+3，T=6．

直線直線 y=3和 f（x）=2sin+3相交，且 xn﹣xn﹣1=3 （n≥2 ），周期為6（滿足條件）．

綜上：f（x）=2sin+2．