Question

13．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形．已知AP=PB=AD=2，PD=2$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求證：AD⊥PB；
（Ⅱ）求四棱錐P-ABCD的體積V；
（Ⅲ）設(shè)PC與平面ABCD所成角的大小為θ，求tanθ的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知推導(dǎo)出AD⊥AB，AD⊥PA，由此能證明AD⊥平面PAB，從而得到AD⊥PB．
（Ⅱ）取AB的中點(diǎn)E，連接PE，CE，由已知推導(dǎo)出$PE⊥AB，PE=\sqrt{3}$，PE是四棱錐P-ABCD的高，由此能求出四棱錐P-ABCD的體積．
（Ⅲ）由PE⊥平面ABCD，得∠PCE即為PC與平面ABCD所成的角，由此能求出tanθ的值．

解答 （Ⅰ）證明：∵在四棱錐P-ABCD中底面ABCD是矩形，
∴AD⊥AB，
∵AD=PA=2，$PD=2\sqrt{2}$，
∴AD⊥PA，…（1分）
又∵AB∩PA=A，∴AD⊥平面PAB…（3分）
∵PB?平面PAB，∴AD⊥PB．…（4分）
（Ⅱ）解：取AB的中點(diǎn)E，連接PE，CE，
∵PA=PB=AB=2，∴$PE⊥AB，PE=\sqrt{3}$，…（6分）
∵AD⊥平面PAB，AD⊆平面ABCD，
∴平面PAB⊥平面ABCD，∴PE⊥平面ABCD，
∴PE是四棱錐P-ABCD的高，…（8分）
∴四棱錐P-ABCD的體積$V=\frac{1}{3}×2×2×\sqrt{3}=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$．…（9分）
（Ⅲ）解：∵PE⊥平面ABCD，
∴∠PCE即為PC與平面ABCD所成的角，…（10分）
∵$CE=\sqrt{B{C^2}+B{E^2}}=\sqrt{5}$…（11分）
∴$tanθ=\frac{PE}{CE}=\frac{{\sqrt{3}}}{{\sqrt{5}}}=\frac{{\sqrt{15}}}{5}$．…（13分）

點(diǎn)評 本題考查異面直線垂直的證明，考查四棱錐的體積的求法，考查角的正切值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．