Question

2．已知$f（x）=（1+\frac{1}{tanx}）{sin^2}x-2sin（x+\frac{π}{4}）sin（x-\frac{π}{4}）$
（1）若tanα=2，求f（α）的值；
（2）已知sinθ，cosθ是方程x²-ax+a=0的兩根，求f（θ）-$\frac{1}{2}cos2θ-\frac{1}{2}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式以及誘導(dǎo)公式兩角和與差的三角函數(shù)化簡函數(shù)的表達式，通過tanα=2求出結(jié)果即可．
（2）利用已知條件求出a，然后求解f（θ）-$\frac{1}{2}cos2θ-\frac{1}{2}$的值．

解答 解：（1）$f（x）=（1+\frac{1}{tanx}）{sin^2}x-2sin（x+\frac{π}{4}）sin（x-\frac{π}{4}）$
=$（si{n}^{2}x+sinxcosx）+2sin（x+\frac{π}{4}）cos（x+\frac{π}{4}）$
=$\frac{1-cos2x}{2}+\frac{1}{2}sin2x+sin（2x+\frac{π}{2}）$
=$\frac{1}{2}$$（sin2x+cos2x）+\frac{1}{2}$，
∵tanx=2，∴$sin2x=\frac{2sinxcosx}{{sin}^{2}x+{cos}^{2}x}$=$\frac{2tanx}{{tan}^{2}x+1}$=$\frac{4}{5}$，
cos2x=$\frac{{cos}^{2}x-s{in}^{2}x}{{sin}^{2}x+{cos}^{2}x}$=$\frac{1-{tan}^{2}x}{{tan}^{2}x+1}$=-$\frac{3}{5}$．
∴f（α）=$\frac{1}{2}$$（sin2x+cos2x）+\frac{1}{2}$=$\frac{3}{5}$．
（2）sinθ，cosθ是方程x²-ax+a=0的兩根，sinθ+cosθ=a，sinθcosθ=a，
∴a²-2a=1，解得$a=1±\sqrt{2}$，
又$\left|sinθcosθ\right|≤\frac{1}{2}$，
∴a=$1-\sqrt{2}$$sinθcosθ=1-\sqrt{2}$，
f（θ）-$\frac{1}{2}cos2θ-\frac{1}{2}$=1$-\sqrt{2}$．

點評 本題考查三角函數(shù)的恒等變換，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式以及誘導(dǎo)公式，兩角和與差的三角函數(shù)，考查計算能力．