Question

1．在側(cè)面ABB₁A₁為長方形的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=a，AA₁=$\sqrt{2}$a，D為AA₁的中點，BD與AB₁交于點O，CO⊥側(cè)面ABB₁A₁，且OC=OA．
（1）求點C₁到側(cè)面ABB₁A₁的距離；
（2）求直線C₁D與平面ABC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）由已知條件推導(dǎo)出AB₁⊥BD，點C₁到側(cè)面ABB₁A₁的距離等于點C到側(cè)面ABB₁A₁的距離，由等面積，可得點C₁到側(cè)面ABB₁A₁的距離；
（2）分別以O(shè)D，OB₁，OC所在的直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線C₁D與平面ABC所成角的正弦值．

解答 解：（1）由題意，點C₁到側(cè)面ABB₁A₁的距離等于點C到側(cè)面ABB₁A₁的距離，即CO．
側(cè)面ABB₁A₁中，由題意∠ABD=∠AB₁B，
∴∠ABD+∠BAB₁=∠AB₁B+∠BAB₁=90°
∴AB₁⊥BD，BD=$\sqrt{{a}^{2}+\frac{1}{2}{a}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$a，
由等面積，可得OA=$\frac{a•\frac{\sqrt{2}}{2}a}{\frac{\sqrt{6}}{2}a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
∵OC=OA，
∴C₁到側(cè)面ABB₁A₁的距離為$\frac{\sqrt{3}}{3}$a；
（2）如圖，分別以O(shè)D，OB₁，OC所在的直線為x，y，z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，則由題意得A（0，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，0），B（-$\frac{\sqrt{6}}{3}$a，0，0），C（0，0，a），B₁（0，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，0），D（$\frac{\sqrt{6}}{6}$a，0，0），C₁（$\frac{\sqrt{6}}{3}$a，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，a），
∴$\overrightarrow{AB}$=（-$\frac{\sqrt{6}}{3}$a，$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，0），$\overrightarrow{AC}$=（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，a），$\overrightarrow{D{C}_{1}}$=（$\frac{\sqrt{6}}{6}$a，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，a），
設(shè)平面ABC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{\sqrt{6}}{3}ax+\frac{\sqrt{3}}{3}ay=0}\\{\frac{\sqrt{3}}{3}ay+az=0}\end{array}\right.$，
取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}，\sqrt{6}，-\sqrt{2}$），
設(shè)直線C₁D與平面ABC所成角為θ，
則sinθ=|cos＜$\overrightarrow{D{C}_{1}}$，$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{3\sqrt{55}}{55}$，
∴直線C₁D與平面ABC所成角的正弦值為$\frac{3\sqrt{55}}{55}$．

點評 本題考查直線與直線所成角的求法，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，解題時要注意向量法的合理運用．