【題目】已知函數(shù),為的導函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)在上存在最大值0,求函數(shù)在上的最大值;
(3)求證:當時,.
【答案】(1)見解析(2) (3)見解析
【解析】分析:(1)對a分類討論,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(2)根據(jù)函數(shù)在上存在最大值0轉(zhuǎn)化得到a=1,再求函數(shù)在上的最大值.(3)先利用第2問轉(zhuǎn)化得到,再證明≤0.
詳解:(1)由題意可知, ,則,
當時,,∴在上單調(diào)遞增;
當時,解得時,,時,
∴在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減
綜上,當時,的單調(diào)遞增區(qū)間為,無遞減區(qū)間;當時,的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為.
(2)由(1)可知,且在處取得最大值,
,即,
觀察可得當時,方程成立
令,
當時,,當時,
∴在上單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,
∴,
∴當且僅當時,,
所以,由題意可知,在上單調(diào)遞減,
所以在處取得最大值
(3)由(2)可知,若,當時,,即,
可得,
令,即證
令,
∵
∴,又,∴
∴,在上單調(diào)遞減,,
∴,當且僅當時等號成立
所以.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】給出下列五個結(jié)論,其中正確的結(jié)論是( )
A.函數(shù)的最大值為
B.已知函數(shù)(且)在上是減函數(shù)則a的取值范圍是
C.在同一直角坐標系中,函數(shù)與的圖象關(guān)于y軸對稱
D.在同一直角坐標系中,函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱
E.已知定義在R上的奇函數(shù)在內(nèi)有1010個零點,則函數(shù)的零點個數(shù)為2021
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,已知直線l:xy2=0,拋物線C:y2=2px(p>0).
(1)若直線l過拋物線C的焦點,求拋物線C的方程;
(2)已知拋物線C上存在關(guān)于直線l對稱的相異兩點P和Q.
①求證:線段PQ的中點坐標為;
②求p的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為. 若點P在雙曲線上,且為銳角三角形,則|PF1|+|PF2|的取值范圍是
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),,.
(1)若函數(shù)在定義域上為單調(diào)遞增函數(shù),求實數(shù)的取值范圍;
(2)設(shè)函數(shù),,,若存在使成立,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知動點到定點的距離比到定直線的距離小1.
(Ⅰ)求點的軌跡的方程;
(Ⅱ)過點任意作互相垂直的兩條直線,分別交曲線于點和.設(shè)線段, 的中點分別為,求證:直線恒過一個定點;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,求面積的最小值.
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