Question

8．已知拋物線C：y²=4x，過M（1，0）作直線l與拋物線C交于A，B兩點，當∠AOB（O為坐標原點）取得最大值時，△AOB面積的值是（　�。�

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 設直線l的方程為x=my+1，代入拋物線C：y²=4x，可得y²-4my-4=0，利用韋達定理，結合cos∠AOB=$\frac{1-4}{\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}}•\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}}}$=$\frac{-3}{\sqrt{16{m}^{2}+25}}$，即可得出結論．

解答 解：設直線l的方程為x=my+1，代入拋物線C：y²=4x，可得y²-4my-4=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4，
∴x₁+x₂=m（y₁+y₂）+2=4m²+2，x₁x₂=1，
∴cos∠AOB=$\frac{1-4}{\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}}•\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}}}$=$\frac{-3}{\sqrt{16{m}^{2}+25}}$，
∴m=0時，∠AOB（O為坐標原點）取得最大值，
此時A（1，2），B（1，-2），∴△AOB面積S=$\frac{1}{2}×1×4$=2．
故選：C．

點評 本題考查直線與拋物線的位置關系，考查向量的數量積公式，考查學生的計算能力，屬于中檔題．