Question

13．如圖，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面ACC₁A₁⊥平面BCC₁B₁，E為棱CC₁的中點，A₁B與AB₁交于點O．若AC=CC₁=2BC=2，∠ACC₁=∠CBB₁=60°．
（Ⅰ）證明：直線OE∥平面ABC；
（Ⅱ）證明：平面ABE⊥平面AB₁E；
（Ⅲ）求直線A₁B與平面ABE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （I）取BB₁的中點F，連結(jié)OF，EF．利用中位線定理得出OF∥AB，EF∥BC，從而平面OEF∥平面ABC，于是直線OE∥平面ABC；
（II）由等邊三角形性質(zhì)得出AE⊥CC₁，由面面垂直的性質(zhì)可得AE⊥平面BCC₁B₁，于是AE⊥BE，根據(jù)平面幾何知識可得BE⊥B₁E，于是BE⊥平面AB₁E，從而平面ABE⊥平面AB₁E；
（III）作OM⊥AE，M為垂足，則可證OM⊥平面ABE．從而∠OBM即為直線A₁B與平面ABE所成角，利用勾股定理計算OM，BM，OB，從而得出sin∠OBM．

解答 解：（Ⅰ）取BB₁的中點F，連結(jié)OF，EF
∵E，O分別為CC₁，BA₁的中點，
∴OF∥AB，EF∥BC，
∵OF?平面ABC，EF?平面ABC，AB?平面ABC，BC?平面ABC，
∴OF∥平面ABC，EF∥平面ABC，
又OF?平面OEF，EF?平面OEF，OF∩EF=F，
∴平面OEF∥平面ABC，∵OE?平面OEF，
∴直線OE∥平面ABC．                            
（Ⅱ）∵AC=2CE=2，∠ACC₁=60°，
∴AE⊥CC₁，
∵平面ACC₁A₁⊥平面BCC₁B₁，平面ACC₁A₁∩平面BCC₁B₁=CC₁，AE?平面ACC₁A₁，
∴AE⊥平面BCC₁B₁，
∴AE⊥BE．
∵BC=CE=EC₁=C₁B₁=1，∠CBB₁=60°，
∴∠CEB=30°，∠C₁EB₁=60°，
∴∠BEB₁=90°，即BE⊥EB₁．
又AE?平面AB₁E，B₁E?平面AB₁E，AE∩B₁E=E，
∴BE⊥平面AB₁E，∵BE?平面ABE，
∴平面ABE⊥平面AB₁E．                          
（Ⅲ）作OM⊥AE，M為垂足，連結(jié)BM．
由（Ⅱ）知OM⊥平面ABE，
∴∠OBM即為直線A₁B與平面ABE所成角．             
∵OM⊥AE，EB₁⊥AE，
∴OM∥EB₁，又O為AB₁的中點，
∴OM=$\frac{1}{2}$EB₁=$\frac{1}{2}$，EM=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴BM=$\frac{{\sqrt{15}}}{2}$，從而BO=2，
∴sin∠OBM=$\frac{1}{4}$，即直線A₁B與平面ABE所成角的正弦值為$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查了線面平行的判定，面面垂直的判定，空間角的作法與計算，屬于中檔題．