Question

18．如圖，已知點(diǎn)A（-1，0），F(xiàn)（1，0）和拋物線C：y²=4x，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)A的動(dòng)直線l交拋物線C于M，P兩點(diǎn)，直線MF交拋物線C于另一點(diǎn)Q．
（1）若△POM的面積為$\frac{5}{2}$，求向量$\overrightarrow{OM}$與$\overrightarrow{OP}$的夾角；
（2）判斷直線PQ與y軸的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出直線AP的方程，代入拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線的距離公式，運(yùn)用三角形的面積公式解得k，再由兩直線的夾角公式計(jì)算即可得到所求值；
（2）直線PQ與y軸的位置關(guān)系為平行．理由：設(shè)Q（x₃，y₃），直線MQ的方程為y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-1}$（x-1），代入拋物線的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，結(jié)合（1），即可得到x₃=x₂，可得結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)直線AP：y=k（x+1），
代入拋物線的方程y²=4x，可得
k²x²+（2k²-4）x+k²=0，
設(shè)M（x₁，y₁），P（x₂，y₂），
可得x₁+x₂=$\frac{4-2{k}^{2}}{{k}^{2}}$，x₁x₂=1，
|MP|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（\frac{4-2{k}^{2}}{{k}^{2}}）^{2}-4}$，
O到直線AP的距離為d=$\frac{|k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
可得△POM的面積為$\frac{1}{2}$d•|MP|=$\frac{1}{2}$•$\frac{|k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$•$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（\frac{4-2{k}^{2}}{{k}^{2}}）^{2}-4}$=$\frac{5}{2}$，
解得k²=$\frac{16}{41}$，
則x₁+x₂=$\frac{33}{4}$，x₁x₂=1，
不妨設(shè)x₁＜x₂，設(shè)向量$\overrightarrow{OM}$與$\overrightarrow{OP}$的夾角為θ，
可得tanθ=|$\frac{{k}_{OP}-{k}_{OM}}{1+{k}_{OP}{k}_{OM}}$|=|$\frac{\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}-\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}}{1+\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}}$|
=|$\frac{{x}_{1}{y}_{2}-{x}_{2}{y}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}}$|=|$\frac{k（{x}_{2}+1）{x}_{1}-k（{x}_{1}+1）{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}+{k}^{2}（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}$|
=|$\frac{k（{x}_{1}-{x}_{2}）}{（1+{k}^{2}）{x}_{1}{x}_{2}+{k}^{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）+{k}^{2}}$|=|$\frac{k\sqrt{（\frac{33}{4}）^{2}-4}}{\frac{57}{41}+\frac{132}{41}+\frac{16}{41}}$|
=|$\frac{\frac{4}{\sqrt{41}}×\frac{5\sqrt{41}}{4}}{5}$|=1，
可得向量$\overrightarrow{OM}$與$\overrightarrow{OP}$的夾角為45°；
（2）直線PQ與y軸的位置關(guān)系為平行．
理由：設(shè)Q（x₃，y₃），
直線MQ的方程為y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-1}$（x-1），
代入拋物線的方程，可得
$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{（{x}_{1}-1）^{2}}$（x-1）²-4x=0，
可得$\frac{4{x}_{1}}{（{x}_{1}-1）^{2}}$x²-（4+$\frac{8{x}_{1}}{（{x}_{1}-1）^{2}}$）x+$\frac{4{x}_{1}}{（{x}_{1}-1）^{2}}$=0，
可得x₁x₃=1，
由（1）可得x₁x₂=1，
即有x₃=x₂，
則直線PQ與y軸平行．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線和拋物線的位置關(guān)系，考查直線方程和拋物線的方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，點(diǎn)到直線的距離公式，考查直線的斜率公式和化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．