Question

12．直線$\left\{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=-4+t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）過圓錐曲線$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{a}{cosθ}}\\{y=3tanθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)，a＞0）的右焦點(diǎn)，則a=4．

Answer 1

分析 直線$\left\{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=-4+t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)可得普通方程．由圓錐曲線$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{a}{cosθ}}\\{y=3tanθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)，a＞0），可得$（\frac{x}{a}）^{2}$-$（\frac{y}{3}）^{2}$=1，可得右焦點(diǎn)$（\sqrt{{a}^{2}+9}，0）$，代入直線方程解出即可得出．

解答 解：直線$\left\{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=-4+t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)可得普通方程：x-y-5=0．
由圓錐曲線$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{a}{cosθ}}\\{y=3tanθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)，a＞0），可得$（\frac{x}{a}）^{2}$-$（\frac{y}{3}）^{2}$=$\frac{1}{co{s}^{2}θ}$-tan²θ=$\frac{1-si{n}^{2}θ}{co{s}^{2}θ}$=1，即$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{9}$=1．
可得右焦點(diǎn)$（\sqrt{{a}^{2}+9}，0）$，代入直線方程可得：$\sqrt{{a}^{2}+9}$-0-5=0，化為a²=16，a＞0，解得a=4．
故答案為：4．

點(diǎn)評 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、三角函數(shù)化簡求值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．