Question

14．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=4，a_na_n-1-4a_n-1+4=0（n≥2）．
（1）求證：$\{\frac{1}{{{a_n}-2}}\}$為等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）若對任意的n∈N^*，3ⁿk-na_n+6≥0恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把已知數(shù)列遞推式變形，可得$\frac{1}{{a}_{n}-2}-\frac{1}{{a}_{n-1}-2}=\frac{1}{2}$．從而說明$\{\frac{1}{{{a_n}-2}}\}$為等差數(shù)列；
（2）求出（1）中等差數(shù)列的通項公式即可求得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）把數(shù)列{a_n}的通項公式代入3ⁿk-na_n+6≥0，分離參數(shù)k，利用函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值得答案．

解答 （1）證明：由a_na_n-1-4a_n-1+4=0，得${a}_{n}=4-\frac{4}{{a}_{n-1}}$，${a}_{n}-2=2-\frac{4}{{a}_{n-1}}$=2×$\frac{{a}_{n-1}-2}{{a}_{n-1}}$，
于是有$\frac{1}{{a}_{n}-2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{{a}_{n-1}-2}$，即$\frac{1}{{a}_{n}-2}-\frac{1}{{a}_{n-1}-2}=\frac{1}{2}$．
∴$\{\frac{1}{{{a_n}-2}}\}$為以$\frac{1}{2}$為公差的等差數(shù)列；
（2）解：∵a₁=4，∴$\frac{1}{{a}_{1}-2}=\frac{1}{2}$，由（1）$\{\frac{1}{{{a_n}-2}}\}$為以$\frac{1}{2}$為公差的等差數(shù)列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}-2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}（n-1）=\frac{n}{2}$，則${a}_{n}-2=\frac{2}{n}$，
∴${a}_{n}=\frac{2}{n}+2$；
（3）解：由3ⁿk-na_n+6≥0恒成立，得${3}^{n}k-n（\frac{2}{n}+2）+6≥0$恒成立，
即k$≥\frac{2n-4}{{3}^{n}}$，令f（n）=$\frac{2n-4}{{3}^{n}}$，
f（1）=$-\frac{2}{3}$，f（2）=0，f（3）=$\frac{2}{27}$，又當(dāng)n≥3時，$\frac{f（n+1）}{f（n）}=\frac{\frac{2n-2}{{3}^{n+1}}}{\frac{2n-4}{{3}^{n}}}=\frac{n-1}{3（n-2）}＜1$，
∴$f（n）_{max}=\frac{2}{27}$，則k$≥\frac{2}{27}$．
∴實數(shù)k的取值范圍為[$\frac{2}{27}，+∞$）．

點評 本題是數(shù)列與不等式的綜合題，考查了等差關(guān)系的確定，訓(xùn)練了恒成立問題的求法，考查利用函數(shù)的單調(diào)性求最值，是中檔題．