Question

9．如圖，在四棱柱P-ABCD中，底面ABCD是矩形，E是棱PA的中點，PD⊥AD．
（Ⅰ）求證：PC∥平面BED；
（Ⅱ）若CD=1，BC=PC=PD=2，求三棱錐P-BCD的體積．

Answer 1

分析 （I）連接AC交BD于點O，連接EO．利用中位線定理得出PC∥OE，故而PC∥平面BDE；
（II）證明AD⊥平面PCD，于是BC⊥平面PCD，從而V_P-BCD=V_B-PCD=$\frac{1}{3}{S}_{△PCD}•BC$．

解答 證明：（Ⅰ）連接AC交BD于點O，連接EO，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴O為AC的中點，又E是PA的中點，
∴EO∥PC，又EO?平面BED，PC?平面BED，
∴PC∥平面BED．
（Ⅱ）∵矩形ABCD中，∴AD⊥CD，BC∥AD，
又AD⊥PD，CD?平面PCD，PD?平面PCD，PD∩CD=D，
∴AD⊥平面PCD，
∵BC∥AD，
∴BC⊥平面PCD，
∵CD=1，PC=PD=2，∴${S_{△PCD}}=\frac{1}{2}×1×\sqrt{{2^2}-{{（\frac{1}{2}）}^2}}=\frac{{\sqrt{15}}}{4}$，
∴${V_{P-BCD}}={V_{B-PCD}}=\frac{1}{3}×{S_{△PCD}}×BC=\frac{{\sqrt{15}}}{6}$．

點評 本題考查了線面平行的判定，線面垂直的判定，棱錐的體積計算，屬于中檔題．