Question

18．在平面直角坐標系xoy中，已知點A（0，1），點B在直線l₁：y=-1上，點M滿足$\overrightarrow{MB}∥\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{MB}•\overrightarrow{BA}$，點M的軌跡為曲線C．
（1）求C的方程；
（2）設(shè)直線l₂：y=kx+m與曲線C有唯一公共點P，且與直線l₁：y=-1相交于點Q，試探究，在坐標平面內(nèi)是否存在點N，使得以PQ為直徑的圓恒過點N？若存在，求出點N的坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)M（x，y），由$\overrightarrow{MB}∥\overrightarrow{OA}$得B（x，-1），又A（0，1），利用$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{MB}•\overrightarrow{BA}$得$（\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}）•\overrightarrow{AB}=0$，代入即可得出；
（2）解法1：由曲線C關(guān)于y軸對稱可知，若存在點N，使得以PQ為直徑的圓恒過點N，則點N必在y軸上，設(shè)N（0，n），又設(shè)點$P（{x_0}，\frac{x_0^2}{4}）$，由直線l₂：y=kx+m與曲線C有唯一公共點P知，直線l₂與曲線C相切，利用導數(shù)的幾何意義可得切線的斜率，直線l₂的方程為$y-\frac{x_0^2}{4}=\frac{x_0}{2}（x-{x_0}）$，令y=-1得Q點的坐標為$（\frac{x_0}{2}-\frac{2}{x_0}，-1）$，由于點N在以PQ為直徑的圓上，可得$\overrightarrow{NP}•\overrightarrow{NQ}$=$（1-n）•\frac{{x}_{0}^{2}}{4}$+n²+n-2=0（*），要使方程（*）對x₀恒成立，必須有$\left\{\begin{array}{l}1-n=0\\{n^2}+n-2=0\end{array}\right.$，即可得出．
解法2：設(shè)點P（x₀，y₀），由l₂：y=kx+m與曲線C有唯一公共點P知，直線l₂與曲線C相切，利用導數(shù)的幾何意義可得切線斜率，得到直線l₂的方程為，令y=-1得Q點的坐標為$（\frac{{2（{y_0}-1）}}{x_0}，-1）$，可得以PQ為直徑的圓方程為：$（y-{y_0}）（y+1）+（x-{x_0}）[x-\frac{{2（{y_0}-1）}}{x_0}]=0$，由于在坐標平面內(nèi)若存在點N，使得以PQ為直徑的圓恒過點N，則點N必為（0，1）或（0，-1），進一步確定即可．

解答 解：（1）設(shè)M（x，y），由$\overrightarrow{MB}∥\overrightarrow{OA}$得B（x，-1），
又A（0，1），∴$\overrightarrow{MA}=（-x，1-y）$，$\overrightarrow{MB}=（0，-1-y）$，$\overrightarrow{AB}=（x，-2）$．
由$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{MB}•\overrightarrow{BA}$得$（\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}）•\overrightarrow{AB}=0$，
即（-x，-2y）•（x，-2）=0⇒x²=4y，
∴曲線C的方程式為x²=4y．
（2）解法1：由曲線C關(guān)于y軸對稱可知，若存在點N，使得以PQ為直徑的圓恒過點N，
則點N必在y軸上，設(shè)N（0，n），
又設(shè)點$P（{x_0}，\frac{x_0^2}{4}）$，由直線l₂：y=kx+m與曲線C有唯一公共點P知，直線l₂與曲線C相切，
由$y=\frac{1}{4}{x^2}$得$y'=\frac{1}{2}x$，∴$k=y'{|_{x={x_0}}}=\frac{1}{2}{x_0}$，
∴直線l₂的方程為$y-\frac{x_0^2}{4}=\frac{x_0}{2}（x-{x_0}）$，
令y=-1得$x=\frac{{\frac{x_0^2}{2}-2}}{x_0}$，∴Q點的坐標為$（\frac{x_0}{2}-\frac{2}{x_0}，-1）$，
∴$\overrightarrow{NP}=（{x_0}，\frac{x_0^2}{4}-n），\overrightarrow{NQ}=（\frac{x_0}{2}-\frac{2}{x_0}，-1-n）$，
∵點N在以PQ為直徑的圓上，
∴$\overrightarrow{NP}•\overrightarrow{NQ}$=$\frac{{x}_{0}^{2}}{2}$-2-（1+n）$•（\frac{{x}_{0}^{2}}{4}-n）$=$（1-n）•\frac{{x}_{0}^{2}}{4}$+n²+n-2=0（*），
要使方程（*）對x₀恒成立，必須有$\left\{\begin{array}{l}1-n=0\\{n^2}+n-2=0\end{array}\right.$，解得n=1，
∴在坐標平面內(nèi)存在點N，使得以PQ為直徑的圓恒過點N，其坐標為（0，1）．
解法2：設(shè)點P（x₀，y₀），由l₂：y=kx+m與曲線C有唯一公共點P知，直線l₂與曲線C相切，
由$y=\frac{1}{4}{x^2}$得$y'=\frac{1}{2}x$，∴$k=y'{|_{x={x_0}}}=\frac{1}{2}{x_0}$，
∴直線l₂的方程為$y-{y_0}=\frac{x_0}{2}（x-{x_0}）$，
令y=-1得$x=\frac{{2（{y_0}-1）}}{x_0}$，∴Q點的坐標為$（\frac{{2（{y_0}-1）}}{x_0}，-1）$，
∴以PQ為直徑的圓方程為：$（y-{y_0}）（y+1）+（x-{x_0}）[x-\frac{{2（{y_0}-1）}}{x_0}]=0$--------①
分別令x₀=2和x₀=-2，由點P在曲線C上得y₀=1，
將x₀，y₀的值分別代入①得：（y-1）（y+1）+（x-2）x=0--------②
（y-1）（y+1）+（x+2）x=0----------③
②③聯(lián)立解得$\left\{\begin{array}{l}x=0\\ y=1.\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x=0\\ y=-1.\end{array}\right.$，
∴在坐標平面內(nèi)若存在點N，使得以PQ為直徑的圓恒過點N，則點N必為（0，1）或（0，-1），
將（0，1）的坐標代入①式得，①式，
左邊=$2（1-{y_0}）+（-{x_0}）[-\frac{{2（{y_0}-1）}}{x_0}]$=2（1-y₀）+2（y₀-1）=0=右邊，
將（0，-1）的坐標代入①式得，①式，
左邊=$（-{x_0}）[-\frac{{2（{y_0}-1）}}{x_0}]=2（{y_0}-1）$不恒等于0，
∴在坐標平面內(nèi)是存在點N，使得以PQ為直徑的圓恒過點N，點N坐標為為（0，1）．

點評 本題考查了向量的坐標運算、數(shù)量積運算、利用導數(shù)的幾何研究拋物線的切線斜率、圓的性質(zhì)，考查了分析問題與解決問題的能力，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．