Question

9．已知射線l₁：x-y=0（x＞0），l₂：x+y=0（x＜0），直線l過點P（m，2）（-2＜m＜2）交l₁于點A，交l₂于點B．
（1）當m=0時，求AB中點M的軌跡Γ的方程；
（2）當m=1且△AOB（O是坐標原點）面積最小時，求直線l的方程；
（3）設(shè)|$\overrightarrow{OA}$|+|$\overrightarrow{OB}$|的最小值為f（m），求f（m）的值域．

Answer 1

分析 （1）當m=0時，P（0，2），設(shè)A（a，a），B（-b，b）（a，b＞0），M（x，y），利用中點坐標公式可得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{a-b}{2}}\\{y=\frac{a+b}{2}}\end{array}\right.$，再利用A，B，P三點共線，即可得出．
（2）當m=1時，P（1，2），A（a，a），B（-b，b）（a，b＞0），可得S_△AOB=$\frac{1}{2}|OA||OB|$=ab，由A，B，P三點共線，得2ab=a+3b，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．
（3）由A，B，P三點共線得：2ab=（m+2）b+（2-m）a，即$\frac{m+2}{2a}+\frac{2-m}{2b}$=1，$|\overrightarrow{OA}|+|\overrightarrow{OB}|$=$\sqrt{2}（a+b）$，利用“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 （1）當m=0時，P（0，2），設(shè)A（a，a），B（-b，b）（a，b＞0），M（x，y），
∵M是AB的中點，∴$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{a-b}{2}}\\{y=\frac{a+b}{2}}\end{array}\right.$，
∵A，B，P三點共線，
∴$\overrightarrow{AP}∥\overrightarrow{BP}$，
由$\overrightarrow{AP}$=（-a，a-2），則-a（b-2）=b（a-2），即a+b=ab．
代入得M點軌跡方程為（y-1）²-x²=1（y＞0）．
（2）當m=1時，P（1，2），A（a，a），B（-b，b）（a，b＞0），
∵|OA|=$\sqrt{2}$a，|OB|=$\sqrt{2}$b，S_△AOB=$\frac{1}{2}|OA||OB|$=ab，
由A，B，P三點共線，得2ab=a+3b，
∴$2ab≥2\sqrt{3ab}$，化為ab≥3，當且僅當a=3b時等號成立，
此時a=3，b=1，直線l方程為x-2y+3=0．
（3）由A，B，P三點共線得：2ab=（m+2）b+（2-m）a，
即$\frac{m+2}{2a}+\frac{2-m}{2b}$=1，$|\overrightarrow{OA}|+|\overrightarrow{OB}|$=$\sqrt{2}（a+b）$=$\sqrt{2}（a+b）（\frac{m+2}{2a}+\frac{2-m}{2b}）$=$\frac{\sqrt{2}}{2}[4+（m+2）\frac{a}+（2-m）•\frac{a}]$，
∵-2＜m＜2，且a＞0，b＞0，
∴$|\overrightarrow{OA}|+|\overrightarrow{OB}|$$≥\frac{\sqrt{2}}{2}[4+2\sqrt{4-{m}^{2}}]$，
∴f（m）=2$\sqrt{2}$+$\sqrt{8-2{m}^{2}}$，m²∈[0，4），
∴f（m）的值域為$（2\sqrt{2}，4\sqrt{2}]$．

點評 本題考查了向量的坐標運算、向量共線定理、斜率計算公式、兩點之間的距離公式、基本不等式的性質(zhì)、中點坐標公式，考查了分析問題與解決問題的能力，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．