Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，已知對任意n∈N^*，點（n，S_n）在二次函數(shù)f（x）=x²+x圖象上．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=

1

Sn

，n∈N*，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n；
（3）設(shè)集合M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k＜1500}，若存在m∈M，使對滿足n＞m的一切正整數(shù)n，不等式2S_n-4200＞

a 2 n

2

恒成立，求這樣的正整數(shù)m共有多少個？

Answer 1

考點：數(shù)列與函數(shù)的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）利用點在圖象上，直接求解數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求出數(shù)列{a_n}的前n項和，化簡b_n=

1

Sn

，n∈N*，利用裂項法求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n；
（3）通過不等式2S_n-4200＞

a 2 n

2

恒成立，轉(zhuǎn)化為正整數(shù)n的范圍，利用m=2k，k∈Z，且1000≤k＜1500，數(shù)列的通項公式求出正整數(shù)m的個數(shù)．

解答： 解：（1）由題意得：Sn=n2+n．
當(dāng)n=1時，a1=S1=12+1=2，
當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1=(n2+n)-[(n-1)2+(n-1)]=2n，n=1時也適合該式，
所以數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=2n．…（3分）
（2）數(shù)列{b_n}滿足bn=

1

Sn

，n∈N*，所以bn=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
所以數(shù)列{b_n}的前n項和
T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)
=1-

1

n+1

=

n

n+1

．…（6分）
（3）由2Sn-4200＞

a 2 n

2

恒成立，即2n2+2n-4200＞

(2n)2

2

，
整理得2n＞4200，即n＞2100．
由題意則有：m≥2100且m∈M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k＜1500}，
則m為大于等于2100小于3000的偶數(shù)，
即符合要求的m是以2100為首項，2為公差，2998為最后一項的等差數(shù)列，則m的個數(shù)為

2998-2100

2

+1=450(個)…（10分）

點評：本題考查數(shù)列與函數(shù)相結(jié)合，數(shù)列的求和的方法，數(shù)列與不等式以及恒成立問題，考查分析問題解決問題的能力．