Question

4．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，bcosC=a-$\frac{1}{2}$c．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b=1，求a+c的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運用余弦定理化簡整理，再由特殊角的三角函數(shù)值，即可得到所求角B；
（Ⅱ）運用余弦定理：b²=a²+c²-2accosB，結(jié)合基本不等式即可得到a+c的最大值．

解答 解：（Ⅰ）∵$bcosC=a-\frac{1}{2}c∴b\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}=a-\frac{1}{2}c$，
∴b²-c²=a²-ac
∴b²=a²+c²-ac，
∴$cosB=\frac{1}{2}$，
又∵$B∈（0，π）∴B=\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）∵b²=a²+c²-2accosB，
∴1=a²+c²-ac=（a+c）²-3ac，
∵$ac≤\frac{{{{（a+c）}^2}}}{4}$當且僅當a=c時等號成立，
∴$\frac{1}{4}{（a+c）^2}≤1$，即a+c≤2．
即有a+c的最大值為2．

點評 本題考查余弦定理的運用，考查運用基本不等式求最值的方法，以及運算化簡能力，屬于中檔題．