Question

9．等差數(shù)列{a_n}中，a₃=2，a₁₁=2a₅
（I）求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=$\frac{1}{n{a}_{n}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由等差數(shù)列的通項公式，得到首項和公差的方程組，解方程可得首項和公差，即可得到所求通項；
（Ⅱ）求得b_n=$\frac{1}{n{a}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），再由裂項相消求和，即可得到所求．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
由題意可得a₁+2d=2，a₁+10d=2（a₁+4d），
解得，a₁=1，d=$\frac{1}{2}$，
所以{a_n}的通項公式為a_n=$\frac{1}{2}$（n+1）；
（Ⅱ）b_n=$\frac{1}{n{a}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
前n項和S_n=2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=2（1-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{2n}{n+1}$．

點評 本題考查等差數(shù)列的通項公式的運用，考查數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，考查運算能力，屬于中檔題．