Question

已知橢圓C的中心為原點(diǎn)O，點(diǎn)F（1，0）是它的一個(gè)焦點(diǎn)，直線l過點(diǎn)F與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，

OA

•

OB

=

1

2

（I）求橢圓C的方程；
（II）已知點(diǎn)P為橢圓的上頂點(diǎn)，且存在實(shí)數(shù)t使

PA

+

PB

=t

PF

成立，求實(shí)數(shù)t的值和直線l的方程．

Answer 1

分析：（I）設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），則a²-b²=1，當(dāng)l垂直于x軸時(shí)，A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（1，

b2

a

）和（1，-

b2

a

），由

OA

•

OB

=（1，

b2

a

）•（1，-

b2

a

）=1-

b4

a2

，知a²=2b⁴，由此能求出橢圓C的方程．
（II）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，A（1，

2

2

），B（1，-

2

2

），P（0，1），

PA

=（1，

2

2

-1），

PB

=（1，-

2

2

-1），

PF

=（1，-1），由t使

PA

+

PB

=t

PF

，得直線l的方程為x=1當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），A=（x₁，y₁），B=（x₂，y₂），

PA

=（x₁，y₁-1），

PB

=（x₂，y₂-1），

PF

=（1，-1），由t使

PA

+

PB

=t

PF

，得直線l的方程為y=-x+1．由此能求出結(jié)果．

解答：解：（I）設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
則a²-b²=1，①
∵當(dāng)l垂直于x軸時(shí)，A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（1，

b2

a

）和（1，-

b2

a

），
∴

OA

•

OB

=（1，

b2

a

）•（1，-

b2

a

）=1-

b4

a2

，
則1-

b4

a2

=

1

2

，即a²=2b⁴．②
由①，②消去a，得2b⁴-b²-1=0．∴b²=1或b²=-

1

2

．
當(dāng)b²=1時(shí)，a²=2．因此，橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1．
（II）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，A（1，

2

2

），B（1，-

2

2

），P（0，1），
所以

PA

=（1，

2

2

-1），

PB

=（1，-

2

2

-1），

PF

=（1，-1），
由t使

PA

+

PB

=t

PF

，得t=2，直線l的方程為x=1
當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），A=（x₁，y₁），B=（x₂，y₂），
所以，

PA

=（x₁，y₁-1），

PB

=（x₂，y₂-1），

PF

=（1，-1），
由t使

PA

+

PB

=t

PF

，得

x1+x2=t y1-1+y2-1=-t

，即

x1+x2=t y1+y2=2-t

，
因?yàn)閥₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1），
所以，y₁+y₂=k（x₁+x₂-2），解得：k=-1
此時(shí)，直線l的方程為y=-x+1，
聯(lián)立

x2 2 +y2=1 y=-x+1

，得3x²-4x=0，t=x₁+x₂=

4

3

，
∴當(dāng)直線斜率存在時(shí)，t=

4

3

，直線l的方程為y=-x+1，
綜上所述，存在實(shí)數(shù)t，且t=2時(shí)，直線方程x=1，
當(dāng)t=1時(shí)，直線l的方程為y=-x+1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查直線方程的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類討論思想和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．