Question

8．求使方程3cosθ-4ksinθ-2+3k=0有解時，k的取值范圍．

Answer 1

分析 利用輔助角公式化簡方程，結合題意和正弦函數(shù)的值域列出不等式組，利用分類討論思想、一元二次不等式的解法，化簡后求出不等式組的解集，即可得到k的取值范圍．

解答 解：由3cosθ-4ksinθ-2+3k=0得，4ksinθ-3cosθ=3k-2，
則$\sqrt{16{k}^{2}+9}$sin（θ-α）=3k-2，得sin（θ-α）=$\frac{3k-2}{\sqrt{16{k}^{2}+9}}$，
∵方程3cosθ-4ksinθ-2+3k=0有解，∴方程sin（θ-α）=$\frac{3k-2}{\sqrt{16{k}^{2}+9}}$有解，
∴-1≤$\frac{3k-2}{\sqrt{16{k}^{2}+9}}$≤1，即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3k-2}{\sqrt{16{k}^{2}+9}}≤1，①}\\{\frac{3k-2}{\sqrt{16{k}^{2}+9}}≥-1，②}\end{array}\right.$，
對于①，當3k-2≤0，即k≤$\frac{2}{3}$時，恒成立；
當3k-2＞0，即k＞$\frac{2}{3}$時，①等價于（3k-2）²≤16k²+9，
化簡得7k²+12k+5≥0，解得$k≥-\frac{5}{7}或k≤-1$，則k＞$\frac{2}{3}$，
所以不等式①的解集是R；
對于②，當3k-2≥0，即k≥$\frac{2}{3}$時，恒成立；
當3k-2＜0，即k＜$\frac{2}{3}$時，②等價于（2-3k）²≤16k²+9，
化簡得7k²+12k+5≥0，解得$k≥-\frac{5}{7}或k≤-1$，
則$-\frac{5}{7}≤k＜\frac{2}{3}$或k≤-1，
所以不等式②解集是{k|$k≥-\frac{5}{7}或k≤-1$}；
綜上可得，不等式組的解集是{k|$k≥-\frac{5}{7}或k≤-1$ }，
∴k的取值范圍是{k|$k≥-\frac{5}{7}或k≤-1$ }．

點評 本題考查了正弦函數(shù)的值域，輔助角公式，一元二次不等式的解法，以及分類討論思想，考查化簡、變形能力，屬于中檔題．