Question

16．已知函數(shù)y=$\frac{1}{2}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinxcosx+1（x∈R）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（3）當(dāng)y取得最大值時(shí)，求自變量x的集合．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式及變形、兩角和的正弦公式化簡解析式，由三角函數(shù)的周期公式求出f（x）的最小正周期；
（2）由正弦函數(shù)的減區(qū)間和整體思想求出f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（3）由正弦函數(shù)的最大值和整體思想求出自變量x的集合．

解答 解：（1）由題意得，y=$\frac{1}{2}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinxcosx+1
=$\frac{1}{4}$（1+cos2x）+$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2x+1=$\frac{1}{2}sin（2x+\frac{π}{6}）+\frac{5}{4}$，
由T=$\frac{2π}{2}=π$得，f（x）的最小正周期是π；
（2）由$\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{3π}{2}+2kπ（k∈Z）$得，
$\frac{π}{6}+kπ≤x≤\frac{2π}{3}+kπ（k∈Z）$，
∴f（x）的單調(diào)減區(qū)間是$[\frac{π}{6}+kπ，\frac{2π}{3}+kπ]（k∈Z）$；
（3）當(dāng)$sin（2x+\frac{π}{6}）=1$ 時(shí)，函數(shù)y取得最大值是$\frac{7}{4}$，
此時(shí)$2x+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}+2kπ（k∈Z）$，即$x=\frac{π}{6}+kπ（k∈Z）$，
∴自變量x的集合是{x|$x=\frac{π}{6}+kπ，k∈Z$}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，三角恒等變換中的公式，考查整體思想，化簡、變形能力．