Question

2．已知函數(shù)f（x）=$\frac{ax-1}{x+1}$．
（1）若a=-2，試證f（x）在（-∞，-2）上單調(diào)遞減；
（2）函數(shù)f（x）在（-∞，-1）上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=-2時(shí)，f（x）=-2+$\frac{1}{x+1}$，由定義法可證；
（2）分類常數(shù)可得f（x）=a-$\frac{a+1}{x+1}$，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可得-（a+1）＞0，解不等式可得．

解答 解：（1）當(dāng)a=-2時(shí)，f（x）=$\frac{-2x-1}{x+1}$=$\frac{-2（x+1）+1}{x+1}$=-2+$\frac{1}{x+1}$，
任取x₁＜x₂＜-2，則f（x₁）-f（x₂）=-2+$\frac{1}{1+{x}_{1}}$+2-$\frac{1}{1+{x}_{2}}$
=$\frac{1+{x}_{2}-1-{x}_{1}}{（1+{x}_{1}）（1+{x}_{2}）}$=$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{（1+{x}_{1}）（1+{x}_{2}）}$＞0，
∴f（x）在（-∞，-2）上單調(diào)遞減；
（2）f（x）=$\frac{ax-1}{x+1}$=$\frac{a（x+1）-a-1}{x+1}$=a-$\frac{a+1}{x+1}$，
要使函數(shù)f（x）在（-∞，-1）上單調(diào)遞減，需-（a+1）＞0，
解得a＜-1

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)單調(diào)性的判定和證明，分離常數(shù)是解決問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．