Question

7．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左焦點為F，右頂點為A，點B在橢圓上，且BF⊥x軸，直線AB交y軸于點P，若|AP|=2|PB|，則橢圓的離心率是（　�。�

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 先求出點B的坐標(biāo)，設(shè)出點P的坐標(biāo)，利用$\overrightarrow{AP}$=2$\overrightarrow{PB}$，由向量共線的坐標(biāo)表示，得到a與c的關(guān)系，從而求出離心率．

解答 解：如圖，由于BF⊥x軸，
故x_B=-c，y_B =$\frac{^{2}}{a}$，即B（-c，$\frac{^{2}}{a}$），
設(shè)P（0，t），
∵$\overrightarrow{AP}$=2$\overrightarrow{PB}$，
∴（-a，t）=2（-c，$\frac{^{2}}{a}$-t）．
∴a=2c，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
故選B．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)以及向量坐標(biāo)形式的運算法則的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．