Question

設(shè)正數(shù)數(shù)列為等比數(shù)列，，記.

（1）求和；

（2）證明: 對任意的，有成立.

 

Answer 1

（1），；（2）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）對照條件易得等比數(shù)列的通項公式，進(jìn)而得；（2）對于與自然數(shù)有關(guān)的命題的證明可優(yōu)先考慮用數(shù)學(xué)歸納法，用數(shù)學(xué)歸納法證題時，首先要掌握好數(shù)學(xué)歸納法證題的規(guī)范、完整的證題步驟，而真正的難點和重點是由假設(shè)來推導(dǎo)第步，這里要充分地利用假設(shè)，若是對于恒等式的證明在利用了假設(shè)以后就很容易推導(dǎo)出第步，但是對于不等式的證明在利用了假設(shè)以后還不能一下子就推導(dǎo)出第步，還需要對照目標(biāo)進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s處理才能推導(dǎo)出第步，放縮處理是有難度，且需要技巧的，這需要在學(xué)習(xí)中去積累.

試題解析： （1）依題意可知，又，所以，從而，進(jìn)而有 ． 4分

（2）證明：①當(dāng)時，左邊，右邊，因為，所以不等式成立． 5分

②假設(shè)當(dāng)時，不等式成立，即成立． 7分

那么當(dāng)時，則左邊右邊 12分

所以當(dāng)時，不等式也成立.

由①、②可得對任意的，都有恒成立． 14分

（另【解析】
此題也可直接用放縮法證明.即用）

考點：1.等比數(shù)列知識；2.數(shù)學(xué)歸納法在證明不等式方面的應(yīng)用；3.放縮法證明不等式.