Question

17．已知f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1+a，x∈[0，$\frac{3π}{4}$]
（1）求單調遞增區(qū)間；
（2）若方程f（x）=0在[0，$\frac{3π}{4}$]上有兩個不同的實根．求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由條件利用正弦函數(shù)的單調性，求得f（x）的單調遞增區(qū)間．
（2）由題意可得函數(shù)y=2sinm 的圖象和直線y=-1-a在[0，$\frac{3π}{4}$]上有2個交點，其中，m=2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{3}$]，數(shù)形結合求得a的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1+a，x∈[0，$\frac{3π}{4}$]，
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，可得函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．
再結合 x∈[0，$\frac{3π}{4}$]，可得函數(shù)的增區(qū)間為[[0，$\frac{π}{6}$]、[$\frac{2π}{3}$，$\frac{3π}{4}$]．
（2）根據(jù)x∈[0，$\frac{3π}{4}$]，可得 2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{3}$]，
若方程f（x）=0在[0，$\frac{3π}{4}$]上有兩個不同的實根，則函數(shù)y=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）的圖象和直線y=-1-a在[0，$\frac{3π}{4}$]上有2個交點，
即函數(shù)y=2sinm 的圖象和直線y=-1-a在[0，$\frac{3π}{4}$]上有2個交點，其中，m=2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{3}$]．
如圖所示：
故有1≤-a-1＜2，或-2＜-a-1≤-$\sqrt{3}$，求得-3≤a＜-2，或$\sqrt{3}$-1≤a＜1，
即a的范圍為：-3≤a＜-2，或$\sqrt{3}$-1≤a＜1．

點評 本題主要考查正弦函數(shù)的單調性，方程根的存在性以及個數(shù)判斷，體現(xiàn)了轉化、數(shù)形結合的數(shù)學思想，屬于中檔題．