Question

7．若m∈R，命題p：設(shè)x₁，x₂是方程x²-ax-3=0的兩個(gè)實(shí)根，不等式|m+1|≥|x₁-x₂|對(duì)任意實(shí)數(shù)a∈[-2，2]恒成立，命題q：函數(shù)f（x）=x³+mx²+（m+$\frac{10}{3}$）x+3在（-∞，+∞）上有極值，求使p且￢q為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 對(duì)于p，先求出|x₁-x₂|∈[2$\sqrt{3}$，4]，再根據(jù)不等式|m+1|≥|x₁-x₂|對(duì)任意實(shí)數(shù)a∈[-2，2]恒成立，得到|m+1|≥4，解得m的范圍，
對(duì)于q，函數(shù)f（x）=x³+mx²+（m+$\frac{10}{3}$）x+3在（-∞，+∞）上有極值，則f′（x）=3x²+2mx+（m+$\frac{10}{3}$）=0有實(shí)根，根據(jù)判別式求出a的范圍，
由于p且￢q為真命題，得到p真，q假，問題得解．

解答 解：若命題p為真命題，
∵x₁，x₂是方程x²-ax-3=0的兩個(gè)實(shí)根
∴x₁+x₂=a，x₁x₂=-3，
∴|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+12}$，
∵a∈[-2，2]，
∴|x₁-x₂|∈[2$\sqrt{3}$，4]，
∵|m+1|≥|x₁-x₂|對(duì)任意實(shí)數(shù)a∈[-2，2]恒成立，
則只要|m+1|≥|x₁-x₂|_max在a∈[-2，2]成立即可
∴|m+1|≥4
∴m+1≥4或m+1≤-4，
∴m≥3，或m≤-5，
若命題q為真命題，
∵f（x）=x³+mx²+（m+$\frac{10}{3}$）x+3，
∴f′（x）=3x²+2mx+（m+$\frac{10}{3}$），
∵函數(shù)f（x）=x³+mx²+（m+$\frac{10}{3}$）x+3在（-∞，+∞）上有極值，
∴f′（x）=3x²+2mx+（m+$\frac{10}{3}$）=0有實(shí)根，
∴△=4m²-12m-40≥0，
解得m≤-2，或m≥5，
∵p且￢q為真命題，
∴p真，q假，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m≥3，或m≤-5}\\{-2＜m＜5}\end{array}\right.$，
解得3≤m＜5，
實(shí)數(shù)m的取值范圍為[3，5）

點(diǎn)評(píng) 本題目主要考查了復(fù)合命題的真假判斷的應(yīng)用，解題得關(guān)鍵是熟練應(yīng)用函數(shù)的知識(shí)準(zhǔn)確求出命題P，Q為真時(shí)的m的取值范圍，屬于中檔題．