Question

2．（1）求y=x+$\frac{1}{x-2}$（x＞2）得最小值．
（2）求（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$）的最小值，其中x＞0，y＞0．

Answer 1

分析 （1）變形為（x-2）$+\frac{1}{x-2}$$≥2\sqrt{（x-2）\frac{1}{x-2}}$=2（x=3時等號成立）即可求解．
（2）展開（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$）=2$+\frac{x}{y}$$+\frac{y}{x}$，其中x＞0，y＞0，利用不等式求解即可．

解答 解：（1）∵x＞2，x-2＞0，
∴（x-2）$+\frac{1}{x-2}$$≥2\sqrt{（x-2）\frac{1}{x-2}}$=2（x=3時等號成立）
∴x+$\frac{1}{x-2}$的最小值為2+2=4
故y的最小值為4，當(dāng)且僅當(dāng)x=3時等號成立
（2）$\frac{x}{y}$$+\frac{y}{x}$$≥2\sqrt{\frac{x}{y}\frac{y}{x}}$=2，
∴2$+\frac{x}{y}$$+\frac{y}{x}$≥4（x=y時等號成立）
故最小值為4，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時等號成立

點(diǎn)評 本題考察了基本不等式的運(yùn)用求解函數(shù)的最值，關(guān)鍵是恒等變形，確定等號成立的條件，屬于中檔題．